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Minimalpolynom bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 23.07.2010
Autor: Salamence

Heyho!

Ich hab da mal ne Frage zur Bestimmung des Minimalpolynoms eines algebraischen Elementes über einem Körper [mm] (\IQ) [/mm]
Gibt es da irgendwie einen Trick, wie das geht??? Bei Elementen der Form [mm] \wurzel{m}+\wurzel{n} [/mm] krieg ich das gerade noch so hin mit ein bisschen quadrieren, umformen, quadrieren etc.

Aber z. B.: [mm] \alpha=\wurzel[3]{3}+\bruch{1}{\wurzel[3]{3}} [/mm]

Irgendwie klar ist ja, dass der Grad 3 sein sollte, da ja [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{3}} [/mm] in [mm] \IQ(\wurzel[3]{3}) [/mm] enthalten ist...

Also sollte doch durch "hoch 3 nehmen" irgendwie schon wat Vernünftiges rauskommen, oder nicht? Kommsts allerdings nich. -_-

So, ich hab jetzt gehört, dass man das Mipo auch irgendwie durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen sollen kann. Wie funktioniert denn diese Methode?

        
Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Fr 23.07.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Heyho!
>  
> Ich hab da mal ne Frage zur Bestimmung des Minimalpolynoms
> eines algebraischen Elementes über einem Körper [mm](\IQ)[/mm]
>  Gibt es da irgendwie einen Trick, wie das geht??? Bei
> Elementen der Form [mm]\wurzel{m}+\wurzel{n}[/mm] krieg ich das
> gerade noch so hin mit ein bisschen quadrieren, umformen,
> quadrieren etc.
>  
> Aber z. B.: [mm]\alpha=\wurzel[3]{3}+\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}[/mm]
>  
> Irgendwie klar ist ja, dass der Grad 3 sein sollte, da ja
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}[/mm] in [mm]\IQ(\wurzel[3]{3})[/mm] enthalten
> ist...
>  
> Also sollte doch durch "hoch 3 nehmen" irgendwie schon wat
> Vernünftiges rauskommen, oder nicht? Kommsts allerdings
> nich. -_-
>  
> So, ich hab jetzt gehört, dass man das Mipo auch irgendwie
> durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen sollen kann.
> Wie funktioniert denn diese Methode?


Hallo Salamence,

ich habe mit deinem [mm] \alpha [/mm] nur grad mal ein bisschen gespielt.
Wenn p das zugehörige Minimalpolynom sein soll, dann muss
ja [mm] p(\alpha)=0 [/mm] sein. Ferner ist der Grad von p = 3 , wie du dir
schon überlegt hast.
Also habe ich mir mal die Potenzen von [mm] \alpha [/mm] notiert, wobei
ich [mm] w:=\wurzel[3]{3} [/mm]  gesetzt habe. Dann ist:

      [mm] $\alpha^0\ [/mm] =\ 1$

      [mm] $\alpha^1\ [/mm] =\ [mm] w+\frac{1}{w}$ [/mm]
  
      [mm] $\alpha^2\ [/mm] =\ [mm] w^2+2+\frac{1}{w^2}$ [/mm]

      [mm] $\alpha^3\ [/mm] =\ [mm] w^3+3\,w+\frac{3}{w}+\frac{1}{w^3}$ [/mm]

Wegen [mm] w^3=3 [/mm] vereinfacht sich die letzte Zeile zu:

      [mm] $\alpha^3\ [/mm] =\ [mm] 3+3\,w+\frac{3}{w}+\frac{1}{3}\ [/mm] =\ [mm] 3*\underbrace{\left(\,w+\frac{1}{w}\,\right)}_{\alpha}+\ \frac{10}{3}$ [/mm]

Somit muss [mm] \alpha [/mm] die Gleichung

      [mm] $\alpha^3-3\,\alpha-\frac{10}{3}\ [/mm] =\ 0$

erfüllen. Das Polynom

      $\ p(x)\ =\ [mm] x^3-3\,x-\frac{10}{3}$ [/mm]

muss also wohl das Minimalpolynom sein.


LG    Al-Chw.
    

Bezug
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