Minimalpolynom bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Hafti |
| Aufgabe | | Berechne das Minimalpolynom von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] |
Also ich kenne bereits die richtige Lösung der Aufgabe: [mm] x^3 [/mm] -6x -6.
Ich weiß, dass das Minimalpolynom von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] , [mm] x^3 [/mm] -2 ist und der Grad somit 3 ist. Ferner weiß ich dass wegen [mm] (\wurzel[3]{2})^2 [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] ,
das MiniPoly von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] über [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] x - [mm] (\wurzel[3]{2} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{4}) [/mm] ist . Leider gelingt es mir jetzt nicht daraus das MiniPoly über [mm] \IQ [/mm] zu bestimmen. Wahrscheinlich ist der Weg dorthin nicht mehr allzu weit.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] $a=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}+1)$
[/mm]
Also [mm] $a^3=(\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}+1))^3=2(\sqrt[3]{2}+1)^3$
[/mm]
Also [mm] $\frac{a^3}{2}=(\sqrt[3]{2}+1)^3$
[/mm]
rechte Seite ausmultiplizieren und dann wieder gute Summanden [mm] ($\in\IQ$) [/mm] auf die Seite von [mm] $a\;$ [/mm] packen. irgendwann musst du mal [mm] $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ [/mm] durch [mm] $a\;$ [/mm] ersetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Hafti |
Danke Chabo, hat super geklappt. Dachte mir, dass ich kurz vorm Ziel war 
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