Minimalpolynom der Exp-Fkt. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Finni |
Hallo zusammen!
In der Linearen Algebra haben wir des öfteren Minimalpolynome von Charakteristischen Polynomen bestimmt. Dies war mir auch sehr verständlich, da man einfach alle Linearfaktoren des Charakteristischen Polynoms überprüfen muss, angefangen mit dem kleinsten Grad.
Nun muss ich aber das Minimalpolynom der komplexen Exponentialfunktion bestimmen, also von:
[mm] e^{\bruch{2*\pi*i}{n}}
[/mm]
Wie mache ich das? Über die Exponentialreihe? Oder der eulerschen Formel? Oder gibt es da einen Trick? Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Di 23.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi,
es gibt eine Formel zur rekursiven Berechnung des Mipos von
[mm] \nu_{n} [/mm] = exp( [mm] \bruch{2*\pi*i}{n}), [/mm] und zwar gilt
[mm] \delta_{n}(X) [/mm] = [mm] \bruch{ x^{n}-1}{ \produkt_{d|n,d \not=n}^{}\delta_{d}(X)}
[/mm]
wobei [mm] \delta_{n}(X) [/mm] das Mipo von [mm] \nu_{n} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist (n-tes Kreisteilungspolynom).
Es gilt zusätzlich
[mm] grad(\delta_{n}) [/mm] = [mm] \phi(n) [/mm] (Eulersche phi-Funktion)
Beste Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:42 Di 23.08.2005 | | Autor: | Finni |
Wie habe ich das Mipo davon nun zu berechnen? Wenn z.B. n=4 oder n=8 wäre?
Ich komme da im Nenner nicht so wirklich weiter.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Di 23.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo und guten Morgen,
mit der Hilfe/Formel, die du jetzt hast, kannst du doch konsequent vorgehen und nacheinander die Min.-Pol. für n = 1, n = 2 und dann n = 4 berechnen. 4 hat nur die Teiler 1 und 2, weil 4 selbst ja ausgeschlossen ist. Und wenn du das für n = 4 hast, nimmst du dir die 8 vor: Weil du die für n = 1, 2 und 4 jetzt hast, kannst du durch Division (Die geht auf!) das für 8 ausrechnen.
Was soll ich noch sagen?
Gruß aus Harburg
Dieter
PS: Es geht übrigens nicht um das MP der exp-Fkt., die hat keins, sondern um das von bestimmten algebraischen Zahlen, um hier mal genau zu sein. Welche Zahl ergibt sich denn für n = 4?
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