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Minimalpolynombestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:51 Mi 03.10.2007
Autor: wcente

Aufgabe
wie bestimme ich das minimalpolynom einer matrix.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

wie bestimme ich das minimalpolynom einer matrix.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Minimalpolynombestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Mi 03.10.2007
Autor: koepper

Hallo,

du bestimmst zuerst das charakteristische Polynom [mm] $\chi_A$ [/mm] der Matrix $A$ mit n Zeilen und Spalten durch

[mm] $\chi [/mm] = det (A - [mm] \lambda I_n)$ [/mm]

Das Minimalpolynom teilt das Charakteristische Polynom und hat dieselben irreduziblen Faktoren.
Es ergibt sich also aus [mm] $\chi$, [/mm] indem man ggf. Exponenten an den Faktoren in [mm] $\chi$ [/mm] reduziert. wie weit, das muß man ausprobieren.

Definitorische Bedingung ist, daß das Minimalpolynom [mm] $\mu_A$ [/mm] das normierte Polynom kleinsten Grades sein muß, mit der Eigenschaft, daß Null herauskommt, wenn man A einsetzt, also

[mm] $\mu(A) [/mm] = 0.$

Bezug
                
Bezug
Minimalpolynombestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Do 04.10.2007
Autor: wcente

d.h. ich bekomme für das charakt. polynom  einer matrix A zum bsp. [mm] (x-5)^5. [/mm]
dann rechne ich [mm] (A-2.I.)^1....2.....3 [/mm] und erhöhe den exponent bis 0 rauskommt. und dieses ist dann genau das minimal polynom?

Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynombestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Fr 05.10.2007
Autor: koepper

Hallo,

> d.h. ich bekomme für das charakt. polynom  einer matrix A
> zum bsp. [mm](x-5)^5.[/mm]
>  dann rechne ich [mm](A-2.I.)^1....2.....3[/mm] und erhöhe den
> exponent bis 0 rauskommt. und dieses ist dann genau das
> minimal polynom?

Du meinst sicher:

$(A - [mm] 5*I)^{1 \ldots 5}$ [/mm]

Das ist korrekt.

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