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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:03 So 21.05.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Minimieren Sie die Funktion
f: [mm] \IR^{3} \to \IR, [/mm] f(x,y,z) = [mm] x^2+y+z
[/mm]
unter den Nebenbedingungen
[mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 1, x + y + z = 1 |
Hallo,
ich versuche gerad diese Aufgabe zu machen und hab dazu paar Fragen!
Also ich mache ja das mit Lagrange-Funktion oder?
Die würde ja dann so aussehen: [mm] x^2+y+z+\lambda *x^2+\lambda *y^2+\lambda *z^2-\lambda +\mu [/mm] *x [mm] +\mu *y+\mu [/mm] *z- [mm] \mu, [/mm] oder?
Dann leite ich dies nach x,y,z, [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ab und erhalte dann:
(i) [mm] 2x+2\lambda *x+\mu
[/mm]
(ii) 1 + [mm] 2\lambda *y+\mu
[/mm]
(iii) 1 + [mm] 2\lambda*z+\mu
[/mm]
(iv) [mm] x^2+y^2+z^2-1
[/mm]
(v) x + y + z -1.
Wenn ich dieses gleichungssystem dann auflöse, bekomme ich x=1, y=0,z=0, [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \mu= [/mm] -1.
Aber ich habe jetzt das Problem, dass ich das Ergebnis nicht richtig zuorden kann. Was sagt mir das Ergebnis und wie muss ich weiterfortfahren? Überprüfe ich, ob jetzt (1,0,0) ein Minimum ist? Wenn ja, wie mache ich das genau?
Wäre dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Lg,
Sherin
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Hi!
Dein Gleichungssystem ist kein Gleichungssystem. ;)
Ich nehme mal an das ein "=0" hinter jedem der Terme von i) bis v) stehen sollte;
1. Lösung:
[mm] \mu=-1
[/mm]
[mm] \lambda=-\bruch{1}{2}
[/mm]
x=1
y=0
z=0
2. Lösung:
[mm] \mu=-1
[/mm]
[mm] \lambda=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{4}(1-\wurzel{5})
[/mm]
[mm] z=\bruch{1}{4}(1+\wurzel{5})
[/mm]
3. Lösung:
[mm] \mu=-1
[/mm]
[mm] \lambda=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{4}(1+\wurzel{5})
[/mm]
[mm] z=\bruch{1}{4}(1-\wurzel{5})
[/mm]
4. Lösung:
[mm] \mu=\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] \lambda=-\bruch{5}{6}
[/mm]
[mm] x=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] z=\bruch{2}{3}
[/mm]
Jetzt musst du prüfen welche Lösung einem Minimum, Maximum oder Wendepunkt entspricht. Dazu setzt du Lösung für Lösung in deine Ausgangsfunktion ein, und schaust welcher Wert dann dafür herauskommt.
Hoffe, das hilft. ;)
Gruß
Alex
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Hi!
Erstmal vielen Dank!! Hab ja einige Lösungen übersehen..
Ich hab jetzt noch ne Frage zur Überprüfung, ob das ein Minimum ist..
Reicht das da echt, wenn ich die werte, die ich für x,y und z rauskriege in die Funktion [mm] x^2+y+z [/mm] einsetze und da dann gucke, welche Werte dafür rauskommen oder muss ich da irgendwas mit der 2. Ableitung oder mit der Lagrange Funktion machen??
Lg,
Sherin
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:36 So 28.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Danke Loddar für die Antwort! Berechne ich denn dazu die Hesse-Matrix der Ausgangsfunktion?
Dann würde ja meine Hesse Matrix wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] und wäre somit positiv semidefinit, somit wären all die möglichen extrempunkte globale Minima.. Stimmt das oder muss ich die Hesse Matrix der Legrangefunktion bestimmen?
Lg,
Sherin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 30.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hesse-Matrix