Minimum Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | Seien a,b,c [mm] \in \IR^2 [/mm] drei verschiedene Punkte und sei [mm] f:\IR^2 ->\IR [/mm] mit
[mm] f(u)=\parallel u-a\parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] u-b [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] u-c [mm] \parallel [/mm]
mit der euklidischen bzw. [mm] l_2 [/mm] Norm.
Was ist die geometrische Bedeutung von f?
Zeigen Sie: f hat auf [mm] \IR^2 [/mm] ein Minimum.
Ist der Punkt wo das Minimum angenommen wird eindeutig? |
Hi,
Also ich ditze vor der obigen Aufgabe und komme irgendwie nicht voran.
Also geometrisch gibt f doch die Summe der Wege zwischen (u und a) und (u und b) und (u und c) an oder? Soll man da noch irgendwas anderes sehen?
So mit dem Minimum, da müsste ich ja erstmal die partiellen Ableitungen bestimmen:
f(u)= [mm] \wurzel{(u_1-a_1)^2+(u_2-a_2)^2}+\wurzel{(u_1-b_1)^2+(u_2-b_2)^2}+\wurzel{(u_1-c_1)^2+(u_2-c_2)^2}
[/mm]
[mm] \partial f/\partial u_1 [/mm] = [mm] \bruch{u_1-a_1}{\parallel u-a \parallel}+\bruch{u_1-b_1}{\parallel u-b \parallel}+\bruch{u_1-c_1}{\parllel u-c \parallel}
[/mm]
stimmt das?
Bei der partiellen Ableitung nach [mm] u_2 [/mm] komt dann ja was ähnliches raus. und die beiden partiellen Ableitungen müssen ja Null ergeben für ein Minimum. Nur bekomm ich die Bedingung nicht umgewandelt in eine Bedinung für u. irgendwie kommt mir das so falsch vor. weiß jemand was ich falsch mache oder hat einen tipp für mich?
Wäre mal wieder supi :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 12.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Seien a,b,c [mm]\in \IR^2[/mm] drei verschiedene Punkte und sei
> [mm]f:\IR^2 ->\IR[/mm] mit
> [mm]f(u)=\parallel u-a\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] u-b [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] u-c [mm]\parallel[/mm]
> mit der euklidischen bzw. [mm]l_2[/mm] Norm.
> Was ist die geometrische Bedeutung von f?
> Zeigen Sie: f hat auf [mm]\IR^2[/mm] ein Minimum.
> Ist der Punkt wo das Minimum angenommen wird eindeutig?
> Hi,
> Also ich ditze vor der obigen Aufgabe und komme irgendwie
> nicht voran.
> Also geometrisch gibt f doch die Summe der Wege zwischen (u
> und a) und (u und b) und (u und c) an oder? Soll man da
> noch irgendwas anderes sehen?
Man kann auch sagen: die Summe der Abstände.
Ich glaube mal gehört zu haben, dass diese Summe minimal ist, wenn von u aus je zwei der drei umliegenden Punkte unter einem Winkel von 120° gesehen werden.
Gruß Abakus
>
> So mit dem Minimum, da müsste ich ja erstmal die
> partiellen Ableitungen bestimmen:
> f(u)=
> [mm]\wurzel{(u_1-a_1)^2+(u_2-a_2)^2}+\wurzel{(u_1-b_1)^2+(u_2-b_2)^2}+\wurzel{(u_1-c_1)^2+(u_2-c_2)^2}[/mm]
> [mm]\partial f/\partial u_1[/mm] = [mm]\bruch{u_1-a_1}{\parallel u-a \parallel}+\bruch{u_1-b_1}{\parallel u-b \parallel}+\bruch{u_1-c_1}{\parllel u-c \parallel}[/mm]
>
> stimmt das?
> Bei der partiellen Ableitung nach [mm]u_2[/mm] komt dann ja was
> ähnliches raus. und die beiden partiellen Ableitungen
> müssen ja Null ergeben für ein Minimum. Nur bekomm ich
> die Bedingung nicht umgewandelt in eine Bedinung für u.
> irgendwie kommt mir das so falsch vor. weiß jemand was ich
> falsch mache oder hat einen tipp für mich?
>
> Wäre mal wieder supi :)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:28 So 13.06.2010 | | Autor: | Lori7 |
Danke für deine Antwort. Also hab ich das geometrisch schonmal richtig verstanden.
Zur Minimalität: Also ich muss das ja irgendwie berechnen. Hättest du da nicht einen Tipp für mich oder eine Korrektur zu meinem Vorschlag? Das es wahrscheinlich minimal ist, wenn zwei Punkte unter einem Winkel von 120° gesehen werden hilft mir nich so viel. Funktioniert mein Ansatz? Ist das richtig?
Wäre sehr froh über eine weitere Antwort.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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