Minimum/Maximum von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 29.11.2004 | | Autor: | collin |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe gerade ziemlich dolle an einer Aufgabe zu knabbern, bei der man eigentlich nur sagen muss, welche Funktionen ein Minimum oder Maximum haben, mit Begründung natürlich. Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
(a) f: R nach R, f(x)=x² ;
diese Funktion ist stetig, hat also Minimum oder Maximum. Definitionsbereich ]-unendlich, +unendlich[. mit lim gegen null hat sie ein Minimum bei 0 und mit lim gegen + bzw. - unendlich hat sie kein Maximum, sondern ein Supremum.(????)
(b) f:[-1, 1] auf R, f(x)=e^(hoch)xsinx ;
da dies eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ist, hat sie sowohl ein Minimum als auch ein Maximum.
(c) f:[-1,0[ auf R, f(x)=1/x² ;
Diese Funktion ist auf diesem Definitionsbereich stetig,....????
(d) ]-2pi, 2pi[ auf R f(x)=sinx
stetige Funktion auf offenem Intervall, hat mehrere Minima/Maxima, weil???
Undsoweiter. Mir fehlt, glaube ich, irgendwie der Ansatz, also WIE ich an die Aufgabe rangehen soll. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 30.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ute!
Meine Antworten beziehen sich immer auf die Existenz globaler Maxima, Minima (ich denke, es geht nicht um lokale, oder?).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe gerade ziemlich dolle an einer Aufgabe zu
> knabbern, bei der man eigentlich nur sagen muss, welche
> Funktionen ein Minimum oder Maximum haben, mit Begründung
> natürlich.
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
> (a) f: R nach R, f(x)=x² ;
> diese Funktion ist stetig, hat also Minimum oder Maximum.
Das ist keine Begründung! Die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [m]f(x):=x^3[/m] [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] ist ebenfalls stetig, ist aber weder nach oben noch nach unten beschränkt und besitzt damit weder ein Minimum noch ein Maximum (da sie ja sogar weder ein Infimum noch ein Supremum haben kann). (Sie hat sogar keine Extremalstellen lokaler Art!)
> Definitionsbereich ]-unendlich, +unendlich[. mit lim gegen
> null hat sie ein Minimum bei 0
Wozu Limes? Du machst dir das Leben schwerer, als es ist.
Begründe einfach, dass [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Minimalstelle ist. Ist es die einzige Minimalstelle oder gibt es noch weitere?
> und mit lim gegen + bzw. -
> unendlich hat sie kein Maximum, sondern ein
> Supremum.(????)
Weder Maximum noch Supremum! (Sonst würde ja ein $K [mm] \in \IR$ [/mm] existieren, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten würde:
[mm] $f(x)\le [/mm] K$. O.B.d.A. könntest du dann $K > 1$ annehmen, und dann wäre aber [mm] $f(K)=K^2 [/mm] > K$ und das wäre der Widerspruch!)
> (b) f:[-1, 1] auf R, f(x)=e^(hoch)xsinx ;
> da dies eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen
> Intervall ist, hat sie sowohl ein Minimum als auch ein
> Maximum.
Es ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall (in [mm] $\IR$ [/mm] ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist). Wie begründest du die Stetigkeit? (Behaupten kann man ja viel, es stimmt aber.  )
Deine Argumentation müßte also sein:
Es ist eine stetige Funktion auf einem beschränkten, abgeschlossenen (und damit kompakten) Intervall von [mm] $\IR$ [/mm] und deswegen existieren Maximum und Minimum der Funktion!
> (c) f:[-1,0[ auf R, f(x)=1/x² ;
> Diese Funktion ist auf diesem Definitionsbereich
> stetig,....????
Und weiter? Der Definitionsbereich ist nicht kompakt (da das Intervall nicht abgeschlossen ist), also kommen wir so nicht weiter. Was passiert denn, wenn du für $x<0$ nun $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen läßt mit dem Ausdruck [mm] $\frac{1}{x^2}$? [/mm] Wogegen strebt der dann?
Überlege dir damit, warum die Funktion dann kein Maximum haben kann.
[mm] $x_0=-1$ [/mm] ist jedoch eine Minimalstelle. Warum?
(Zusatz: Ist es die einzige?)
> (d) ]-2pi, 2pi[ auf R f(x)=sinx
> stetige Funktion auf offenem Intervall, hat mehrere
> Minima/Maxima, weil???
Wenn du [mm] $f:(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \to \IR$ [/mm] definiert durch $f(x):=tan(x)$ betrachtest, so ist diese stetige Funktion auf einem offenen Intervall definiert, hat aber weder Maximum noch Minimum noch ist sie in irgendeiner Weise beschränkt.
Aber vielleicht überlegst du dir:
Der Sinus ist beschränkt (nach oben durch $1$, nach unten durch $-1$) und es gibt Stellen, an denen er den Wert $1$ bzw. $-1$ annimmt. Liegen vielleicht welche davon in dem Intervall [m](-2\pi;2\pi)[/m]?
Geht es hier eigentlich nur um globale Maxima, Minima? Ich hoffe, denn meine Antworten passen so erstmal nur dann, wenn es um globale (absolute) geht! Andernfalls müßten wir uns noch darum kümmern, ob die obigen Funktionen lokale haben (oder ob sie keine haben)!
Viele Grüße,
Marcel
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