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| Aufgabe | Beispiel. Wir betrachten die Teilbarkeitsrelation "|" auf [mm] \IN. [/mm] Minimal zu sein bzgl. "|" bedeutet "kein anderes ist Teiler". Minimum zu sein bzgl. "|" bedeutet "alle anderen sind Vielfache".
(i) Die Menge {2 3 4 6} besitzt kein Minimum, hat aber die minimalen
Elemente 2 und 3.
(ii) Die Menge {2, 3, 5} besitzt kein Minimum, und jedes Element ist minimal.
(iii) Die Menge {2, 4, 6} besitzt das Minimum 2, und 2 ist das einzige minimale
Element. |
Hallo Leute,
Es sei E eine partielle Ordnung auf M.
De finition. Ein Element m [mm] \in [/mm] M heisst minimal in M, falls kein m' [mm] \in [/mm] M
existiert mit m' [mm] \not= [/mm] m und m' E m. Ein Element m [mm] \in [/mm] M wird ein Minimum
von M genannt, falls fuer alle m' [mm] \in [/mm] M gilt: m E m'.
Analog defi niert man maximal und Maximum (Ubung).
so steht es in meinem Skript.
(i) und (ii) ist klar.
Ich kann nicht nachvollziehen, dass die 6 in (iii) kein minimales Element ist
In der Definition steht ja, dass es sich um ein minimales Element handelt, wenn es kein Element gibt mit m' [mm] \not= [/mm] m und m' E m.
Fuer die 6 hiesse das: (x,6) [mm] \not\in [/mm] E und das stimmt ja auch, weil es kein Element a [mm] \in [/mm] {2,4,6} gibt mit xa = 6. Warum ist es trotzdem kein minimum?
Gruss
mathlooser
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Hallo,
> Beispiel. Wir betrachten die Teilbarkeitsrelation "|" auf
> [mm]\IN.[/mm] Minimal zu sein bzgl. "|" bedeutet "kein anderes ist
> Teiler". Minimum zu sein bzgl. "|" bedeutet "alle anderen
> sind Vielfache".
> (iii) Die Menge {2, 4, 6} besitzt das Minimum 2, und 2 ist
> das einzige minimale
> Element.
> Es sei E eine partielle Ordnung auf M.
>
> De finition. Ein Element m [mm]\in[/mm] M heisst minimal in M,
> falls kein m' [mm]\in[/mm] M
> existiert mit m' [mm]\not=[/mm] m und m' E m. Ein Element m [mm]\in[/mm] M
> wird ein Minimum
> von M genannt, falls fuer alle m' [mm]\in[/mm] M gilt: m E m'.
> Analog defi niert man maximal und Maximum (Ubung).
> Ich kann nicht nachvollziehen, dass die 6 in (iii) kein
> minimales Element ist
>
> In der Definition steht ja, dass es sich um ein minimales
> Element handelt, wenn es kein Element gibt mit m' [mm]\not=[/mm] m
> und m' E m.
Ja. Hier ist E = | (Teilbarkeit).
> Fuer die 6 hiesse das: (x,6) [mm]\not\in[/mm] E und das stimmt ja
> auch, weil es kein Element a [mm]\in[/mm] {2,4,6} gibt mit xa = 6.
> Warum ist es trotzdem kein minimum?
Du verwechselst hier zwei Sachen. Die zugrundeliegende Menge ist zwar $M = [mm] \{2,4,6\}$, [/mm] aber die Teilbarkeit an sich spielt sich auf den natürlichen Zahlen ab.
6 ist kein minimales Element, weil 2|6 (es ist ja 2|6 wegen 2*3 = 6)
(Damit 2|6 gilt, muss nicht $3 [mm] \in [/mm] M$ gelten. Die Teilbarkeitsrelation ist ja völlig losgelöst von der zugrundeliegenden Menge $M$.)
6 ist auch kein Minimum, weil es keine natürliche Zahl $n$ gibt mit $6*n = 2$.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
danke fuer deine Antwort.
In der Tat, ich verwechsle das irgendwie.
Teilbarkeitsrelation "|" auf [mm] \IN [/mm] bedeutet doch folgendes:
"|" [mm] \subseteq \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] richtig?
Und ist dann nicht "|" = die Menge aller paare aus [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] mit (x,y) fuer die gilt xa = y, wobei a [mm] \in \IN?
[/mm]
Mein Problem faengt quasi Mit der Menge M = {2,3,4,6} an. Wie bringe ich das in Zusammenhang mit der oben definierten Teilbarkeitsrelation?
Mein Ansatz war bisher folgender:
Sei "|" [mm] \subseteq [/mm] M x M. Dann ist "|" = {(2,4),(2,6),(3,6)}. Jetzt kann ich eben genau die Definition oben anwenden:
Minimale Elemente sind 2 und 3 da es kein Element m' [mm] \in [/mm] M gibt mit m' [mm] \not= [/mm] m [mm] \wedge [/mm] (m',m) [mm] \in [/mm] "|". Wobei das m halt entweder 2 oder 3 ist.
(m',2),(m',3) [mm] \not\in [/mm] "|" [mm] \Rightarrow [/mm] 2,3 sind minimal.
Fuer M = {2,4,6} ist dann "|" = {(2,4),(2,6)}
(m',2) [mm] \not\in [/mm] "|" [mm] \Rightarrow [/mm] 2 ist minimal
Ich dachte, dass das a aus M (mit m' = xa) sein muss; muss es aber nicht. Das war der Fehler (a darf aus [mm] \IN [/mm] sein).
Ist das so richtig?
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Hallo!
> Teilbarkeitsrelation "|" auf [mm]\IN[/mm] bedeutet doch folgendes:
>
> "|" [mm]\subseteq \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] richtig?
>
> Und ist dann nicht "|" = die Menge aller paare aus [mm]\IN[/mm] x
> [mm]\IN[/mm] mit (x,y) fuer die gilt xa = y, wobei a [mm]\in \IN?[/mm]
So ist es. Bezeichnung für $(x,y) [mm] \in [/mm] |$ ist entsprechend $x | y$.
> Mein Problem faengt quasi Mit der Menge M = {2,3,4,6} an.
> Wie bringe ich das in Zusammenhang mit der oben definierten
> Teilbarkeitsrelation?
>
> Mein Ansatz war bisher folgender:
>
> Sei "|" [mm]\subseteq[/mm] M x M.
Genau das ist der Denkfehler (bzw. die Verständnisschwierigkeit bei der Aufgabe).
Die Aufgabe sagt eben nicht, dass "|" jetzt auf die Menge M einzuschränken ist. (*)
Um das deutlich zu trennen, bezeichne ich die Relation auf M, über die wir hier reden, mit E.
Diese Relation E auf M wird jetzt definiert durch: [mm] $m_1 [/mm] E [mm] m_2 \gdw m_1 | m_2$ [/mm] in [mm] \IN [/mm] (also mit | auf [mm] \IN [/mm] - das ist wohldefiniert, weil $M [mm] \subset \IN$).
[/mm]
> Dann ist "|" =
> {(2,4),(2,6),(3,6)}.
Ja, in diesem Fall ist $E = {(2,4),(2,6),(3,6)}$.
> Jetzt kann ich eben genau die
> Definition oben anwenden:
>
> Minimale Elemente sind 2 und 3 da es kein Element m' [mm]\in[/mm] M
> gibt mit m' [mm]\not=[/mm] m [mm]\wedge[/mm] (m',m) [mm]\in[/mm] "|". Wobei das m halt
> entweder 2 oder 3 ist.
>
> (m',2),(m',3) [mm]\not\in[/mm] "|" [mm]\Rightarrow[/mm] 2,3 sind minimal.
Ja, das ist alles richtig.
> Fuer M = {2,4,6} ist dann "|" = {(2,4),(2,6)}
So ist es. E = {(2,4),(2,6)}, denn 2|6, 4|6.
> (m',2) [mm] \not\in [/mm] "|" [mm]\Rightarrow[/mm] 2 ist minimal
Ja.
> Ich dachte, dass das a aus M (mit m' = xa) sein muss; muss
> es aber nicht. Das war der Fehler (a darf aus [mm]\IN[/mm] sein).
>
> Ist das so richtig?
Genau so ist es. Siehe (*).
Viele Grüße,
Stefan
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Super! Danke fuer deine Antwort.
> Diese Relation E auf M wird jetzt definiert durch: $ [mm] m_1 [/mm] E [mm] m_2 \gdw m_1 [/mm] | [mm] m_2 [/mm] in [mm] \IN
[/mm]
Ok, aber warum das ganze? Also warum definiert man zunaechst die Teilbarkeitsrelation auf [mm] \IN [/mm] um dann erneut eine Teilbarkeitsrelation auf einer Teilmenge von [mm] \IN [/mm] zu definieren? Villeicht um so den Zahlenbereich einzuschraenken?
> (also mit | auf [mm] \IN [/mm] - das ist wohldefiniert, weil M [mm] \subset \IN).
[/mm]
Was bedeutet wohldefiniert?
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Wohldefiniertheit
Während eine explizite Definition immer zulässig ist, ist eine implizite Definition nur unter der Bedingung zulässig, dass es tatsächlich genau ein Objekt mit der angegebenen Eigenschaft gibt. Diese Bedingung nennt man die Wohldefiniertheit der impliziten Definition.
Es gibt also ein Objekt, das die Bedingung der Teilbarkeit in der Relation | erfuellt?
Gruss
mathlooser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 09.02.2014 | | Autor: | gnolle |
Super! Danke fuer deine Antwort.
> Diese Relation E auf M wird jetzt definiert durch: $ $ [mm] m_1 [/mm] $ E $ [mm] m_2 \gdw m_1 [/mm] $ | $ [mm] m_2 [/mm] $ in $ [mm] \IN [/mm] $
Ok, aber warum das ganze? Also warum definiert man zunaechst die Teilbarkeitsrelation auf $ [mm] \IN [/mm] $ um dann erneut eine Teilbarkeitsrelation auf einer Teilmenge von $ [mm] \IN [/mm] $ zu definieren? Villeicht um so den Zahlenbereich einzuschraenken?
Die Relation ist ja im Prinzip dieselbe, nur der Definitionsbereich ist ein anderer, hier eben M. Also ja im Prinzip hast du Recht, es wird nur der Zahlenbereich eingeschränkt.
> (also mit | auf $ [mm] \IN [/mm] $ - das ist wohldefiniert, weil M $ [mm] \subset \IN). [/mm] $
Was bedeutet wohldefiniert?
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Wohldefiniertheit
Während eine explizite Definition immer zulässig ist, ist eine implizite Definition nur unter der Bedingung zulässig, dass es tatsächlich genau ein Objekt mit der angegebenen Eigenschaft gibt. Diese Bedingung nennt man die Wohldefiniertheit der impliziten Definition.
Es gibt also ein Objekt, das die Bedingung der Teilbarkeit in der Relation | erfuellt?
Also generell bedeutet das umgangssprachlich, dass die Funktion anständig definiert ist, also z.b. darf eine Element durch die Funktionsvorschrift nicht auf 2 verschiedene Elemente abbilden. Z.b. bei Äquivalenzklassen oder so kann das eben passieren.
Hier heißt es eigentlich nur, dass klar ist, das die Relation auch auf der Menge M definiert ist, da alle Elemente in M auch [mm] \in \IN [/mm] sind, wie steppenhahn ja auch geschrieben hat. Wären da z.b. irrationale Zahlen, müsste man eine andere Relation definieren, da ja die "normale" Teilbarkeitsrelation eben nur auf [mm] \IN [/mm] definiert ist.
Das heißt aber nicht zwingend, dass da auch tatsächlich Elemente zueinander in Relation stehen müssen, also ein Element Teiler eines anderen sein muss.
War zwar nicht alles ganz mathematisch ausgedrückt aber ich denke so ist es einfacher zu verstehen.
mfg gnolle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 09.02.2014 | | Autor: | mathlooser |
Vielen Dank euch allen! Ich glaub ich habs jetzt verstanden.
Gruss
mathlooser
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