Minimum nicht angenommen? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Do 30.04.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Betrachte den Raum X = C[-1,1] mit der [mm] \| \cdot \|_{\infty} [/mm] - Norm und die Menge
M:= [mm] \{ u \in C[-1,1]: \int_0^1 u(t) dt - \int_{-1}^0 u(t) dt = 1 \}.
[/mm]
Zeige, dass [mm] argmin_{u \in M} \| u\|_{\infty} [/mm] keine Lösung hat, d.h. das Minimum von [mm] \| u\|_{\infty} [/mm] über M nicht angenommen wird. |
Hallo,
wir hatten einen Satz, der besagt dass eine Funktion f auf C [mm] \subset [/mm] X das Minium animmt, wenn X reflexiver Banachraum ist, C [mm] \subset [/mm] X eine abgeschlossene konvexe Teilmenge und f: C [mm] \rightarrow [/mm] R stetig und konvex. Falls C unbeschränkt ist, genüge f der Bedingung f(x) [mm] \rightarrow \infty [/mm] für [mm] \|x\| \rightarrow \infty.
[/mm]
Welche Bedingung ist nun in der Aufgabe aus dem Satz nicht erfüllt? Hat es mit der Konvexität zu tun?
Für Hinweise wie man die Beh. zeigt, wäre ich natürlich auch sehr dankbar 
Viele Grüße,
Riley
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Hi Riley,
hast du dir mal ueberlegt, wie funktionen in $M$ aussehen? Und insbesondere, was passiert, wenn du zu einer funktion aus $M$ eine konstante addierst?
entwickle eine vorstellung von $M$, dann ist die aussage schnell bewiesen...
gruss
matthias
> Betrachte den Raum X = C[-1,1] mit der [mm]\| \cdot \|_{\infty}[/mm]
> - Norm und die Menge
> M:= [mm]\{ u \in C[-1,1]: \int_0^1 u(t) dt - \int_{-1}^0 u(t) dt = 1 \}.[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]argmin_{u \in M} \| u\|_{\infty}[/mm] keine Lösung
> hat, d.h. das Minimum von [mm]\| u\|_{\infty}[/mm] über M nicht
> angenommen wird.
> Hallo,
> wir hatten einen Satz, der besagt dass eine Funktion f auf
> C [mm]\subset[/mm] X das Minium animmt, wenn X reflexiver Banachraum
> ist, C [mm]\subset[/mm] X eine abgeschlossene konvexe Teilmenge und
> f: C [mm]\rightarrow[/mm] R stetig und konvex. Falls C unbeschränkt
> ist, genüge f der Bedingung f(x) [mm]\rightarrow \infty[/mm] für
> [mm]\|x\| \rightarrow \infty.[/mm]
> Welche Bedingung ist nun in der
> Aufgabe aus dem Satz nicht erfüllt? Hat es mit der
> Konvexität zu tun?
> Für Hinweise wie man die Beh. zeigt, wäre ich natürlich
> auch sehr dankbar
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Matthias,
ich glaube das ist das Problem, dass ich mir die Funktionen in M noch nicht wirklich vorstellen kann. Vor allem dass die Differenz der Integrale 1 gibt und nicht Null... Über u(t) weiß ich ja sonst nur dass sie stetig ist. Kannst du mir noch einen Tip geben wie ich mir das vorstellen kann...? Das wäre super.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hallo Matthias,
> ich glaube das ist das Problem, dass ich mir die
> Funktionen in M noch nicht wirklich vorstellen kann.
Ich geb mal weitere Tips:
Erstens: finde eine untere Schranke für Elemente aus M, also C mit [m]C\le ||f||\forall f\in M[/m] - ich habe da [m]C=\bruch{1}{2}[/m], in dem ich einfach die Inegrale nach oben abgeschätzt habe.
Zweitens: finde eine Folge in M, so dass [m]||f_n||\to C[/m]. Damit erhälst du, dass dies tatsächlich das Infimum der Norm auf M ist. Ich habe hier quasi eine Summe von charakteristischen Funktionen durch stetige approximiert.
Drittens: zeige, dass es keine stetige Funktion u geben kann mit [m]u\in M[/m] und [m]||u||=C[/m]. Damit bist du dann fertig.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die weiteren Hinweise, ich versteh das leider noch nicht so ganz.
> Erstens: finde eine untere Schranke für Elemente aus M,
> also C mit [m]C\le ||f||\forall f\in M[/m] - ich habe da
> [m]C=\bruch{1}{2}[/m], in dem ich einfach die Inegrale nach oben
> abgeschätzt habe.
Wie kannst du die Integrale nach oben abschätzen, wenn du nur weißt, dass u [mm] \in [/mm] C[-1,1] und diese Integraleigenschaft ? Was bedeutet das, dass die Differenz der Integral 1 sein muss? ... und wenn du sie nach oben abschätzt, warum ist das dann eine untere Schranke?
> Zweitens: finde eine Folge in M, so dass [m]||f_n||\to C[/m].
> Damit erhälst du, dass dies tatsächlich das Infimum der
> Norm auf M ist. Ich habe hier quasi eine Summe von
> charakteristischen Funktionen durch stetige approximiert.
Hm, wie hast du diese Folge gefunden? Charakteristische Funktionen sind doch entweder 1 oder 0,... aber wie funktioniert das hier?
> Drittens: zeige, dass es keine stetige Funktion u geben
> kann mit [m]u\in M[/m] und [m]||u||=C[/m]. Damit bist du dann fertig.
Ja, das klingt logisch - bis auf, wie zeigt man dass es so etwas nicht geben kann...? Allerdings müsste ich dazu ja auch erstmal die ersten beiden Schritte hinbekommen. Wäre super, wenn du mir dabei noch ein bisschen helfen könntest! *help*
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie kannst du die Integrale nach oben abschätzen, wenn du
> nur weißt, dass u [mm]\in[/mm] C[-1,1] und diese Integraleigenschaft
> ?
Es gibt da Regeln, mit denen man den Betrag des Intergals nach oben abschätzen kann ... welche kennst du da?
> Was bedeutet das, dass die Differenz der Integral 1 sein
> muss?
Das, was da steht. Was meinst du denn?!
> ... und wenn du sie nach oben abschätzt, warum ist
> das dann eine untere Schranke?
Weil ich den Betrag vom Integral nach oben mit Hilfe des Supremums der Funktion abgeschätzt habe.
> Hm, wie hast du diese Folge gefunden? Charakteristische
> Funktionen sind doch entweder 1 oder 0,... aber wie
> funktioniert das hier?
Das ist nur ein Hilfskonstrukt - finde eine sehr einfache Treppenfunktion, die die Integral-Bedingung erfüllt, am besten mit Maximumsnorm von C. Diese ist natürlich nicht stetig, aber man kann diese durch stetige Funktionen approximieren, die in M liegen, und deren Maximumsnorm auch gegen C geht, und zwar mit stückweise linearen Funktionen, damit man es sich leicht macht. Am besten hilft hier eine Zeichnung!
> Ja, das klingt logisch - bis auf, wie zeigt man dass es so
> etwas nicht geben kann...?
Du nimmst an es gibt so ein u, dann ... Widerspruch. Du kannst jedes einzelne Integral her vom Betrag her abschätzen, damit erhälst du Bedingungen wie u aussehen müsste, damit es in M liegt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> > Wie kannst du die Integrale nach oben abschätzen, wenn du
> > nur weißt, dass u [mm]\in[/mm] C[-1,1] und diese Integraleigenschaft
> > ?
>
> Es gibt da Regeln, mit denen man den Betrag des Intergals
> nach oben abschätzen kann ... welche kennst du da?
... z.B. Hölder. Sieht aber nicht so aus, als ob das hier helfen würde.
> > Was bedeutet das, dass die Differenz der Integral 1 sein
> > muss?
>
> Das, was da steht. Was meinst du denn?!
Ich dachte nur, ob man sich das vielleicht geometrisch irgendwie vorstellen kann? Matthias schrieb in seinem Beitrag weiteroben, ich soll mir eine Vortstellung von den Funktionen in M machen, was bis jetzt aber noch nicht geglückt ist...
> > ... und wenn du sie nach oben abschätzt, warum ist
> > das dann eine untere Schranke?
>
> Weil ich den Betrag vom Integral nach oben mit Hilfe des
> Supremums der Funktion abgeschätzt habe.
>
> > Hm, wie hast du diese Folge gefunden? Charakteristische
> > Funktionen sind doch entweder 1 oder 0,... aber wie
> > funktioniert das hier?
>
> Das ist nur ein Hilfskonstrukt - finde eine sehr einfache
> Treppenfunktion, die die Integral-Bedingung erfüllt, am
> besten mit Maximumsnorm von C. Diese ist natürlich nicht
> stetig, aber man kann diese durch stetige Funktionen
> approximieren, die in M liegen, und deren Maximumsnorm auch
> gegen C geht, und zwar mit stückweise linearen Funktionen,
> damit man es sich leicht macht. Am besten hilft hier eine
> Zeichnung!
Ohje, ich weiß leider nicht wie ich so Hilfstreppenfunktionen konstruieren kann. Kannst du mir dabei helfen oder gibt es noch einen anderen Weg um diese Aufgabe zu lösen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> ... z.B. Hölder. Sieht aber nicht so aus, als ob das hier
> helfen würde.
[m]|\int^a_bf|\le ||f||(a-b)[/m]
> Ohje, ich weiß leider nicht wie ich so
> Hilfstreppenfunktionen konstruieren kann. Kannst du mir
> dabei helfen oder gibt es noch einen anderen Weg um diese
> Aufgabe zu lösen?
Ob es noch andere Wege gibt? Bestimmt ... ich geb die Funktion mal an: [m]-\chi_{[-1,0)}*\bruch{1}{2} + \chi_{(0,1]}*\bruch{1}{2}[/m]. Jetzt bist aber mal du dran - approximiere diese Treppenfunktion durch stetige Funktionen in M - was muss man bei 0 beachten? Wie kann man das außerhalb der 0 dann wieder ausgleichen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 05.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Secki,
deine Treppenfunktion sieht doch so aus, dass sie auf dem Intervall [-1,0) gleich 1/2 ist und auf (0,1] ist sie -1/2, oder?
Ich hab mal ein paar Funktionen durchprobiert:
u(t)= t, dann ist
[mm] \int_0^1 [/mm] u(t) dt - [mm] \int_{-1}^0 [/mm] u(t) dt = 1/2-(-1/2) = 1.
Mit einer Konstanten dazu:
u(t) = t+c
[mm] \int_0^1 [/mm] u(t) dt - [mm] \int_{-1}^0 [/mm] u(t) dt = 2c, dann muss c = 1/2 sein.
Die Treppenfunktion ist doch anders aufgeschrieben das hier, oder?
u(t) := [mm] \begin{cases} 1/2, & \mbox{für } t \in [-1,0) \\ -1/2, & \mbox{für } t \in (0,1] \end{cases} [/mm]
Könnte ich es vielleicht annähern durch:
u(t) = [mm] t^3 [/mm] + 1/4
[mm] \int_0^1 [/mm] u(t) dt = 1/2
und [mm] \int_{-1}^0 [/mm] u(t) = - 1/2
Dann ist die Differenz 1 und u(t) [mm] \in [/mm] M. Nur nähert es die Treppenfunktion wieder nicht an.
Kannst du mir bitte noch einen Tipp geben *verzweifel'*
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 05.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> deine Treppenfunktion sieht doch so aus, dass sie auf dem
> Intervall [-1,0) gleich 1/2 ist und auf (0,1] ist sie -1/2,
> oder?
Ja, das war aber leider falsch - es muss von den Vorzeichen genau andersrum sein. Sorry. Hast du die Abschätzung verstanden?
> Mit einer Konstanten dazu:
> u(t) = t+c
> [mm]\int_0^1[/mm] u(t) dt - [mm]\int_{-1}^0[/mm] u(t) dt = 2c, dann muss c =
> 1/2 sein.
Das stimmt doch nicht - der t-Teil intergiert egibt 1, die Konstante hebt sich weg, also immer 1.
> Die Treppenfunktion ist doch anders aufgeschrieben das
> hier, oder?
>
> u(t) := [mm]\begin{cases} 1/2, & \mbox{für } t \in [-1,0) \\ -1/2, & \mbox{für } t \in (0,1] \end{cases}[/mm]
Ja.
> Könnte ich es vielleicht annähern durch:
Stückweise lineare soll das sein ... Ich häng mal ne Zeichnung an, von dem, was ich meine:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Koordinatenkreuz ist das normale Koordiantenkreuz, die anderen waagerechten Striche sind bei 0.5.
SEcki
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 05.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ah cool, vielen Dank für die Skizze!!
Also meinst du diese Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} -1/2, & \mbox{für } x \in [-1,-1/2] \\ x , & \mbox{für } x \in [-1/2,1/2] \\ 1/2, & \mbox{für} x \in [1/2,1] \end{cases}
[/mm]
Die ist ja sichtlich stetig - nur hab ich mich auf die schnelle verrechnet? Ich bekomme für das [mm] \int_0^1 [/mm] f(x) dx = 3/8 und auf dem anderen Intervall -3/8, weil dann wäre die Funktion nicht in M? Oder meintest du das einzeln betrachtet?
Neh, die Abschätzung seh ich noch nicht, wie hast du das genau gemacht?
Vielen Dank für deine Hilfe!!
VG, Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Also meinst du diese Funktion:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -1/2, & \mbox{für } x \in [-1,-1/2] \\ x , & \mbox{für } x \in [-1/2,1/2] \\ 1/2, & \mbox{für} x \in [1/2,1] \end{cases}[/mm]
Nein, in meiner Skizze hat die Funktion links und rechts wieder linearen Anstieg. Wozu? Naja, damit ...
>
> Die ist ja sichtlich stetig - nur hab ich mich auf die
> schnelle verrechnet? Ich bekomme für das [mm]\int_0^1[/mm] f(x) dx =
> 3/8 und auf dem anderen Intervall -3/8, weil dann wäre die
> Funktion nicht in M? Oder meintest du das einzeln
> betrachtet?
Hier eben auch 1 rauskommt, und kein Wert kleiner als 1. Dieses stubst einen auch auf den Widerspruch nacher.
> Neh, die Abschätzung seh ich noch nicht, wie hast du das
> genau gemacht?
Die klassische Abschätzung benutzt. Genau hab ich nichts gemacht, das solltest *du* tun!
SEcki
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