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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mi 04.05.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Leider kann ich nicht zeigen, dass für eine konvexe, absorbierende und ausgewogene Menge L, dass dazugehörige Minkowski-Funktional $\ [mm] \mu_L$ [/mm] homogen ist:
[mm] \mu_L(\alpha x) = |\alpha| \mu_L(\alpha) [/mm]
Aufgrund der Konvexität kann ich ja die Dreiecksungleichung zeigen. Mittels Ausgewogenheit sollte ich dann die Homogenität zeigen können. Leider schaffe ich das nicht. Natürlich habe ich das Netz schon durchforstet, aber keine zufriedenstellende Lösung gefunden.
Danke und Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Dass Du Dich in einem lokalkonvexen top. Vektorraum V befindest, hättest Du schon sagen können.
Ich zeig Dir wie es geht, aber nur weil ich (mal wieder) diese Aufgabe für eine Übungsaufgabe für zu schwer empfinde.
Um Schreibarbeit zu sparen, bezeichne ich das Minkowski-Funktional von L mit f. Der Skalarkörper sei K (also K= [mm] \IR [/mm] oder K= [mm] \IC)
[/mm]
Zu zeigen ist also:
f(tx)=|t|f(x) für t [mm] \in [/mm] K und x [mm] \in [/mm] V.
Wegen o [mm] \in [/mm] L , ist
$ f(0*x)= f(0)= inf [mm] \{s>0: 0 \in sL\}=0=0*f(x)$
[/mm]
Sei t>0. Dann:
$f(tx)= inf [mm] \{s>0: tx \in sL\}= inf\{ s>0: x \in (s/t)L\}= [/mm] t* [mm] inf\{a>0: x \in aL\}=tf(x)$
[/mm]
Jetzt sei |t|=1.Da L ausgewogen ist, gilt tx [mm] \in [/mm] sL [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] sL, also ist f(tx)=f(x).
Sei t beliebig, aber [mm] \ne [/mm] 0. Mit dem schon Bewiesenen erhalten wir:
$f(tx)= [mm] f(|t|*\bruch{t}{|t|}*x)= |t|f(\bruch{t}{|t|}*x)=|t|f(x).$
[/mm]
FRED
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Hallo FRED,
Danke für deinen Beweis. Ich verwende aber nicht, dass mein Raum ein lokal konvexer topologischer Vektorraum ist. Alles was ich brauche ist, dass mein Raum ein Vektorraum ist, und meine Menge konvex, absorbierend und ausgewogen. Natürlich wird dies nachher für eine entsprechende lokale Basis gebraucht.
Nur eine kleine Fragen
> Sei t>0. Dann:
>
> [mm]f(tx)= inf \{s>0: tx \in sL\}= inf\{ s>0: x \in (s/t)L\}= t* inf\{a>0: x \in aL\}=tf(x)[/mm]
>
Wieso darf ich das t nicht schon bei der ersten Gleichung einfach hinausziehen? (für positives t). Was ist dein a?, kann man das nicht explizit angeben?
Noch eine weitere Frage: Die Äquivalenz von [mm] tx \in sL \gdw x \in sL, |t|=1 [/mm]. Die Richtung "$\ [mm] \Leftarrow [/mm] $" ist ja Definition. Aber von wo weiss ich, dass wenn $\ tx [mm] \in [/mm] sL $ gilt für ein $\ |t|=1$ dass x dann in $\ sL $ liegt? Klar ist, dass $\ sL $ ebenfalls ausgewogen ist. Die Definition von ausgewogen gibt mir ja gerade für ein $\ x [mm] \in [/mm] sL$ folgt das die Multiplikation mit einer (salopp gesprochen) kleinen Zahl wieder in $\ sL$ ist. Die Umkehrung oben gilt doch nicht. Ich müsste ja verwenden, dass $\ x [mm] \in [/mm] sL $ ist, aber das will ich ja zeigen.
Danke für die Klärung meiner Frage. Allerdings war dies keine Übungsaufgabe. Ich wollte mich einfach einmal mit lokalkonvexern topologischen Vektorräumen befassen, da auf solche immer wieder in verschiedenen Vorlesungen hingewiesen wird. Dabei habe ich diese Aussage gelesen und wollte sie beweisen.
Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 04.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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