Minkowskischer Gitterpunktsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:04 Do 02.05.2013 | | Autor: | Tine90 |
| Aufgabe | Satz: Sei K [mm] \in R^2 [/mm] ein symmetrischer konvexer K¨orper mit Volumen V (K) > 4 . Dann liegt in K ein Punkt [mm] \neq [/mm] 0 des Standardgitters [mm] L_0 [/mm] .
Unter den vielen bis heute bekannten Beweisen des Satzes ist der nun folgende von Mordell
besonders elegant. Für alle t [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sei N(t) die Anzahl der Punkte in [mm] \frac{2}{t}\in L_0 \cap [/mm] K. Da K Jordan-messbar ist, erhält man
[mm] \lim_{t\to\infty}\frac{4}{t^2}N(t)>4,
[/mm]
also N(t) > [mm] t^2 [/mm] für alle hinreichend großen t > [mm] t_0 \in\mathbb{ N}. [/mm] Die Restklassengruppe [mm] L_0/tL_0 [/mm] enthält
nur [mm] t^2 [/mm] Elemente, also gibt es für t > [mm] t_0 [/mm] unter den N(t) Punkten von [mm] \frac{2}{t}L_0\cap [/mm] K sicher Punkte
x [mm] \neq [/mm] y mit
x − y [mm] \in\frac{2}{t}t L_0
[/mm]
oder | anders gesagt | mit [mm] 0\neq \frac{1}{2}(x-y)\in L_0
[/mm]
Wegen der Symmetrie von K ist auch −y [mm] \in [/mm] K , und aus der Konvexität von K folgt daher auch
[mm] \frac{1}{2}( [/mm] x − y ) [mm] \in [/mm] K . |
Hallo =)
Ich hab hier ein Problem mit dem Beweis von Mordell, und zwar verstehe ich nicht warum man [mm] \frac{2}{t}L_0\cup [/mm] K, betrachtet und nciht einfach nur [mm] L_0 \cup [/mm] K.
Könnt ihr mir da helfen?
Viele Grüße,
Tine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Do 02.05.2013 | | Autor: | Tine90 |
Also ich meinte natürlich warum man [mm] \frac{2}{t}L_0\cap [/mm] K betrachtet...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 05.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 05.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Tine,
> Satz: Sei K [mm]\in R^2[/mm] ein symmetrischer konvexer K¨orper
> mit Volumen V (K) > 4 . Dann liegt in K ein Punkt [mm]\neq[/mm] 0
> des Standardgitters [mm]L_0[/mm] .
> Unter den vielen bis heute bekannten Beweisen des Satzes
> ist der nun folgende von Mordell
> besonders elegant. Für alle t [mm]\in \mathbb{N}[/mm] sei N(t) die
> Anzahl der Punkte in [mm]\frac{2}{t}\in L_0 \cap[/mm] K. Da K
> Jordan-messbar ist, erhält man
> [mm]\lim_{t\to\infty}\frac{4}{t^2}N(t)>4,[/mm]
> also N(t) > [mm]t^2[/mm] für alle hinreichend großen t > [mm]t_0 \in\mathbb{ N}.[/mm]
> Die Restklassengruppe [mm]L_0/tL_0[/mm] enthält
> nur [mm]t^2[/mm] Elemente, also gibt es für t > [mm]t_0[/mm] unter den N(t)
> Punkten von [mm]\frac{2}{t}L_0\cap[/mm] K sicher Punkte
> x [mm]\neq[/mm] y mit
> x − y [mm]\in\frac{2}{t}t L_0[/mm]
> oder | anders gesagt | mit
> [mm]0\neq \frac{1}{2}(x-y)\in L_0[/mm]
> Wegen der Symmetrie von K
> ist auch −y [mm]\in[/mm] K , und aus der Konvexität von K folgt
> daher auch
> [mm]\frac{1}{2}([/mm] x − y ) [mm]\in[/mm] K .
>
> Ich hab hier ein Problem mit dem Beweis von Mordell, und
> zwar verstehe ich nicht warum man [mm]\frac{2}{t}L_0\cup[/mm] K,
> betrachtet und nciht einfach nur [mm]L_0 \cup[/mm] K.
Naja, irgendwie muss der Beweis ja funktionieren. Und Mordell moechte offenbar Eigenschaften von Jordanmessbaren Mengen verwenden, sowie Eigenschaften des Limes. Und dazu braucht man erstmal eine Folge mit der man etwas Anfangen kann.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:42 Di 07.05.2013 | | Autor: | Tine90 |
| Aufgabe | Hallo =)
ich brauch dringend eure Hilfe bei dem Beweis von einer Abwandlung des GPS von Minkowski. Den findet ihr unter Satz 8.14 unter folgendem Link:
http://books.google.de/books?id=nDqd_PjJRb4C&pg=PA236&lpg=PA236&dq=spezialfall:+das+ebene+standardgitter&source=bl&ots=jZzV0hcr8H&sig=N7O6uKsVboh73HpPMoFsB2qJXQM&hl=de&sa=X&ei=1wCJUdWkPOmK4ASmvoGoBA&ved=0CEAQ6AEwAg#v=onepage&q=spezialfall%3A%20das%20ebene%20standardgitter&f=false |
Also was ich bei dem Beweis nicht verstehe ist zum einen, dass 2/t [mm] L_0\cap [/mm] K betrachtet wird, aber ich habe mir überlegt, dass das vllt daher kommen könnte, dass man mit [mm] t\in\mathbb{N} [/mm] nur natürliche Zahlen betrachtet, obwohl das Gitter eigentlich der [mm] \mathbb{Z}^2 [/mm] ist. Stimmt das?
Außerdem ist mir völlig unklar, warum K Jordan-messbar ist und warum man deswegen diese Umformung mit dem Limes machen kann...ich hab hier eine Definition von Jordan-messbar,komme damit aber auch nicht weiter:
http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Viele Grüße,
Tine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mi 08.05.2013 | | Autor: | felixf |
Hallo Tine,
ich hab die Frage mal in den alten Thread geschoben, da es offensichtlich um genau den gleichen Beweis geht und die Frage teilweise ebenfalls dieselbe ist.
LG Felix
PS: [mm] $L_0 [/mm] = [mm] \IZ^2$. [/mm] Warum man [mm] $\tfrac{1}{t} L_0 \cap [/mm] K$ betrachtet hatte ich schon geschrieben. Und die Jordanmessbarkeit folgt vermutlich daraus, dass es ein konvexer Koerper ist. Vielleicht steht ja sogar was dazu im Buch...
> Hallo =)
> ich brauch dringend eure Hilfe bei dem Beweis von einer
> Abwandlung des GPS von Minkowski. Den findet ihr unter Satz
> 8.14 unter folgendem Link:
>
> http://books.google.de/books?id=nDqd_PjJRb4C&pg=PA236&lpg=PA236&dq=spezialfall:+das+ebene+standardgitter&source=bl&ots=jZzV0hcr8H&sig=N7O6uKsVboh73HpPMoFsB2qJXQM&hl=de&sa=X&ei=1wCJUdWkPOmK4ASmvoGoBA&ved=0CEAQ6AEwAg#v=onepage&q=spezialfall%3A%20das%20ebene%20standardgitter&f=false
> Also was ich bei dem Beweis nicht verstehe ist zum einen,
> dass 2/t [mm]L_0\cap[/mm] K betrachtet wird, aber ich habe mir
> überlegt, dass das vllt daher kommen könnte, dass man
> mit [mm]t\in\mathbb{N}[/mm] nur natürliche Zahlen betrachtet,
> obwohl das Gitter eigentlich der [mm]\mathbb{Z}^2[/mm] ist. Stimmt
> das?
> Außerdem ist mir völlig unklar, warum K Jordan-messbar
> ist und warum man deswegen diese Umformung mit dem Limes
> machen kann...ich hab hier eine Definition von
> Jordan-messbar,komme damit aber auch nicht weiter:
> http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> Viele Grüße,
> Tine
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
