Minorante und Cauchy < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 09.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe eine Reihe gegeben: [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
[/mm]
Wenn ich das ganze umforme, habe ich dann ja dort stehen: [mm] $a_n=\frac{1}{n}*\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
[/mm]
Nun kann ich ja eine Minorante suchen, indem ich sage, dass [mm] $\frac{1}{n}*\frac{1}{x}\le \frac{1}{n}*\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ [/mm] sein soll. Daraus bekomme ich, dass das gilt:
[mm] $x\ge\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
[/mm]
Da die rechte seite streng monoton wäschst, muss x das ja auch, d.h. ich kann keine Minorante der Form 1/n *1/x finden, die ab einem gewissen p kleiner oder gleich dem Ausdruck da oben ist...
Gut, wende ich Cauchy an, der mir sagt: Wenn n>m>N und [mm] $|s_n-s_m|<\epsilon$, [/mm] dann konvergiert die Reihe. Setzte ich n=m+1 so erhalte ich
[mm] $\left|\frac{1}{(m+1)(\sqrt{m+2}+\sqrt{m+1})}\right|<\epsilon$
[/mm]
Und dann finde ich zu jedem Epsilon ein N, so dass die Ungleichung erfüllt ist. Ich muss das N nur groß genug wählen. Also konvergiert die oben genannte Reihe.
Da [mm] |a_n|=a_n [/mm] konvergiert sie sogar absolut.
Stimmt das so?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kroni!
Ich würde hier etwas anders vorgehen: Klammer im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] aus und Du erhältst:
[mm] $$\bruch{1}{n*\wurzel{n}*\left( \ \wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n^{\bruch{3}{2}}*\left( \ \wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1\right)}$$
[/mm]
Dies kannst Du nun schnell abschätzen, da [mm] $\summe\bruch{1}{n^s}$ [/mm] für $s \ > \ 1$ konvergiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hmm, eine gescheite Majorante bekomme ich hier auch nicht hin....
Damit ich einen Bruch bekomme, der kleiner ist, muss ich ja den Zähler verkleinern, und den Nenner vergrößern. Das ginge ja mit [mm] 1/n^{1.5} [/mm] . Nun, ich weiß, dass das konvergiert als Reihe. Aber wenn ich weiß, dass mein Bruch [mm] 1/n^{1.5} [/mm] kleiner ist als meine eigentliche Reihe, habe ich ja nichts gewonnen...
Ich brauch doch eigentlich eine Reihe [mm] \sum b_n [/mm] wobei [mm] |b_n|\ge|a_n| [/mm] ist, und dann muss [mm] b_n [/mm] konvergieren...
Nun ja, frage: Ist meine Anwendung von Cauchy denn so grundsätzlich okay oder ist das falsch?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Hi,
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> hmm, eine gescheite Majorante bekomme ich hier auch nicht
> hin....
>
> Damit ich einen Bruch bekomme, der kleiner ist, muss ich ja
> den Zähler verkleinern, und den Nenner vergrößern. Das
> ginge ja mit [mm]1/n^{1.5}[/mm] . Nun, ich weiß, dass das
> konvergiert als Reihe. Aber wenn ich weiß, dass mein Bruch
> [mm]1/n^{1.5}[/mm] kleiner ist als meine eigentliche Reihe, habe ich
> ja nichts gewonnen...
Das verstehe ich jetzt nicht, dann
[mm] \bruch{1}{2n^{3/2}} > \bruch{1}{n}\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm]
also ist
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{2n^{3/2}} [/mm]
eine konvergente Majorante.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Gut, wende ich Cauchy an, der mir sagt: Wenn n>m>N und
> [mm]|s_n-s_m|<\epsilon[/mm], dann konvergiert die Reihe. Setzte ich
> n=m+1 so erhalte ich
>
> [mm]\left|\frac{1}{(m+1)(\sqrt{m+2}+\sqrt{m+1})}\right|<\epsilon[/mm]
>
> Und dann finde ich zu jedem Epsilon ein N, so dass die
> Ungleichung erfüllt ist. Ich muss das N nur groß genug
> wählen. Also konvergiert die oben genannte Reihe.
Damit hast du nicht gezeigt, dass es eine Cauchyfolge ist, denn du musst es für beliebige m,n zeigen.
Cauchyfolge heisst doch: ab einem N sind alle Folgenglieder weniger als [mm]\epsilon[/mm] voneinander entfernt. Du hast gezeigt, dass benachbarte Folgenglieder weniger als [mm]\epsilon[/mm] voneinander entfernt sind.
Ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe, bei der auch [mm]|s_{m+1}-s_m|[/mm] gegen 0 geht, die Reihe aber divergiert.
Also betrachte:
[mm]|s_n-s_m| = \left|\summe_{k=m+1}^n \bruch{1}{k} \bruch{1}{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}\right|
< \summe_{k=m+1}^n \bruch{1}{k} \bruch{1}{2\wurzel{k}}
[/mm]
Und das kannst du so klein wie du willst machen, da die verallgemeinerte harmonische Reihe konvergiert, also eine Cauchyfolge ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Do 20.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi Rainer,
danke für deine Antwort. Okay, dann ist es also mit m=+1 nicht möglich. Werde es mir dann mal merken.
LG
Kroni
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