Minoranten und Majoranten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Untersuche die Reihen
(a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2} - 5k + 1}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+2}{k^{3}+5}
[/mm]
auf Konvergenz. |
Hallo  ,
also bei diesen beiden Reihen darf man nur Majorante- bzw Minorantenkriterium benutzen.
Also die beiden Kriterien kann ich immernoch nicht so gut und ich würde bei (a) das Majorantenkriterium anwenden und dann eine konvergente Majorante [mm] \bruch{2}{k^{2}} [/mm] finden und zu (b) würde ich auch eine konvergente Majorante finden mit [mm] \bruch{1}{k^{2}}.
[/mm]
So richtig?
LG
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Moin al3pou,
> Untersuche die Reihen
>
> (a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2} - 5k + 1}[/mm]
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> (b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+2}{k^{3}+5}[/mm]
>
> auf Konvergenz.
> Hallo ,
>
> also bei diesen beiden Reihen darf man nur Majorante- bzw
> Minorantenkriterium benutzen.
> Also die beiden Kriterien kann ich immernoch nicht so gut
> und ich würde bei (a) das Majorantenkriterium anwenden und
> dann eine konvergente Majorante [mm]\bruch{2}{k^{2}}[/mm] finden
Allgemein: Wenn du eine Abschätzung machst, dann brauchst du einen Startwert, ab dem sie gelten soll. Und du musst zeigen, dass ab diesem Startwert die Abschätzung gilt.
Da du beim Majorantenkriterium auf absolute Konvergenz prüfst, musst du [mm] \left|\bruch{1}{k^{2} - 5k + 1}\right| [/mm] durch eine konvergente Majorante nach oben abschätzen. Jetzt betrachte mal k=4 und da haut deine Abschätzung schon nicht hin! [mm] (\frac{1}{3}>\frac{1}{8}=\frac{2}{4^2})
[/mm]
Also gib einen genügend großen Startwert an, sodass die Abschätzung immer (für [mm] k\geq1) [/mm] gilt oder passe die Abschätzung an.
> und zu (b) würde ich auch eine konvergente Majorante finden
> mit [mm]\bruch{1}{k^{2}}.[/mm]
Hier im Wesentlichen die gleichen Bemerkungen.
>
> So richtig?
>
> LG
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich verstehe es nicht. Also wir haben gelernt, dass ich die Reihe dann einfach Schritt für Schritt annäher, aber wie mache ich das z.B nun bei (a). Ich habe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2} - 5k + 1}
[/mm]
jetzt forme ich die Folge erstmal um. Also zu
[mm] \bruch{1}{(k-1)^{2}-3k} \le [/mm] ?
also wir würden jetzt versuchen das "-3k" zu "eliminieren", aber ich weiß nicht, wie ich meine Abschätzung gestalten müsste, damit das klappt. Wenn es nen "+3k" wäre, wäre es einfach aber so hab ich keine ahnung. Wenn ich das "-3k" da weg hab, weiß ich dass ich das ganze so umformen kann, dass es sich vom Konvergenzverhalten wie [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] verhält und hätte damit mein Ergebnis. Ich könnte doch jetzt einfach aus dem "-3k" ein -"4k" machen, aber dann wäre es ja immer < und nicht mehr [mm] \le [/mm] oder ist das nicht schlimm?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du möchtest den Nenner verkleinern um den Bruch zu vergrößern
du hattest schon die richtige Idee mit [mm] 2/k^2 [/mm] oder [mm] 1/(k^2/a)
[/mm]
also such einfach ab wo [mm] x^2-5x+1
dann nimm die nächst größere ganze Zahl und du hast was du willst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay, aber warum genau < [mm] \bruch{x^{2}}{2}?? [/mm] Oder ist das, weil ich den Kehrwert nehme und weiß, das [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] definitiv größer ist? Oh mir ist grad aufgefallen, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich diese Ungleichung löse -.- oder wäre es dann, dass die Reihe eine Konvergente Majorante mit
[mm] \summe_{k=4}^{\infty} \bruch{2}{k^{2}}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest die [mm] 2/k^2 [/mm] im ersten post deshalb mein vorschlag. rechne die pos. Nst vom [mm] x^2-5x+1=x^2/2 [/mm] aus , oder [mm] =x^2/4
[/mm]
auf der einen seite ist dann das eine größer auf der anderen das andere!
dann hast du dien [mm] 2/k^2 [/mm] oder [mm] 4/k^2
[/mm]
gruss leduart
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