Mittelpunkt des Kreises < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 09.05.2009 | | Autor: | az118 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Mittelpunktskoordinaten und den Radius aller Kreise, die durch die Punkte [mm] P1=\vektor{-4 \\ 0} [/mm] und [mm] P2=\vektor{-2 \\ 6} [/mm] gehen und die Gerade g: 7x+y=72 berühren. |
Hallo, also ich habe zwar ein Ansatz aber irgendwas haut da nicht hin...
Also ich habe die Punkte in die Kreisgleichung eingesetzt :
[mm] (-4-xm)^2+(0-ym)^2=r^2
[/mm]
[mm] (-2-xm)^2+(6-ym)^2=r^2
[/mm]
dann gleich gesetzt und rausgekriegt : 0=-24+4xm+12ym
dachte dann ich stelle nach xm um und setzte das in eine dergleichungen ein, aber dann kommt es zu einer quadratischen gleichung, bei der unter der klammer ein negativer ausdruck steht...da kann ja also was nicht stimmen oder?
wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
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Hallo,
da stimmt noch etwas im Ansatz nicht:
> Bestimmen Sie die Mittelpunktskoordinaten und den Radius
> aller Kreise, die durch die Punkte [mm]P1=\vektor{-4 \\ 0}[/mm] und
> [mm]P2=\vektor{-2 \\ 6}[/mm] gehen und die Gerade g: 7x+y=72
> berühren.
> Hallo, also ich habe zwar ein Ansatz aber irgendwas haut
> da nicht hin...
>
> Also ich habe die Punkte in die Kreisgleichung eingesetzt
> :
>
> [mm](-4-xm)^2+(0-ym)^2=r^2[/mm]
> [mm](-2-xm)^2+(6-ym)^2=r^2[/mm]
>
> dann gleich gesetzt und rausgekriegt : 0=-24+4xm+12ym
Wenn das richtig gerechnet ist, hast Du damit die Gerade, auf der alle Mittelpunkte der Kreise liegen, die durch beide Punkte gehen.
> dachte dann ich stelle nach xm um und setzte das in eine
> dergleichungen ein,
In eine der Kreisgleichungen? Wozu?
Die zweite Bedingung ist doch, dass die Kreise (der Kreis) eine gegebene Gerade berühren soll.
> aber dann kommt es zu einer
> quadratischen gleichung, bei der unter der klammer ein
> negativer ausdruck steht...da kann ja also was nicht
> stimmen oder?
Nein, irgendwie nicht. Quadratische Gleichung ist klar, du hast ja (warum auch immer) in die Kreisgleichung eingesetzt. Aber ein negativer Ausdruck unter der Wurzel spricht gegen die Richtigkeit des Ergebnisses.
> wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 09.05.2009 | | Autor: | az118 |
Achso, könnte ich denn den Abstand der beiden Geraden berechnen und das wäre dann der Radius des Kreises?
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Hallo!
Nein, der Abstand der Geraden ist wahrscheinlich 0, weil sie sich schneiden. Du hast nun schon eine Geradengleichung für sämtliche Mittelpunkte der Kreise, die durch A und B gehen.
Darauf hätte man auch folgendermaßen kommen können: Die gesuchte Gerade muss orthogonal zum Vektor [mm] $\vec{AB}$ [/mm] verlaufen und durch den Mittelpunkt von der Strecke AB gehen. D.h. wir brauchen einen Normalenvektor zu [mm] $\vec{AB} [/mm] = [mm] \vektor{2\\6}$, [/mm] einer ist zum Beispiel [mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{3\\-1}$. [/mm] Der Mittelpunkt von AB berechnet sich durch das arithmetische Mittel der Koordinaten von A und B, also [mm] $\vec{OM} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\3}$, [/mm] insgesamt erhalten wir also für die Mittelpunkte der Kreise die Gerade
[mm] $h:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\3} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{3\\-1}$
[/mm]
Wenn du nun diese Gerade in Parameterschreibweise hast, kannst du jeden Punkt auf der Geraden durch Wahl von einem bestimmten [mm] \lambda [/mm] ausdrücken. Damit die gegebene Gerade g den Kreis berührt, muss sie Tangente an den Kreis sein, d.h. sie muss senkrecht auf dem Radius stehen. Deswegen erhältst du den Radius, indem du nun zu jedem Punkt auf h den Abstand zu g berechnest. Führe also eine Abstandsberechnung von dem Punkt
[mm] \vektor{-3+3*\lambda\\3-\lambda}
[/mm]
auf die Gerade g durch. Du erhältst den Radius r, den der Kreis dann haben muss. Für jedes [mm] \lambda [/mm] kannst du gleichzeitig mit dem obigen Mittelpunkt und dem nun berechneten Radius die Kreisgleichung aufstellen. Dort setzt du A und B ein und guckst, für welche [mm] \lambda [/mm] diese Gleichung erfüllt ist. So erhältst du die [mm] \lambda [/mm] und damit die Mittelpunkte der Kreise, die gesucht sind.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 09.05.2009 | | Autor: | az118 |
Ok also um den Abstand zu berechnen muss ich das Skalarprodukt von [mm] \vektor{-3+3t \\ 3-t} [/mm] und dem Normalenvektor der tangente [mm] \vektor{7 \\ 1} [/mm] bilden? dann wäre r=-18+20t ?
aber wie ich jetzt den Mittelpunkt berechne hab ich nicht richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 So 10.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok also um den Abstand zu berechnen muss ich das
> Skalarprodukt von [mm]\vektor{-3+3t \\ 3-t}[/mm] und dem
> Normalenvektor der tangente [mm]\vektor{7 \\ 1}[/mm] bilden? dann
> wäre r=-18+20t ?
>
> aber wie ich jetzt den Mittelpunkt berechne hab ich nicht
> richtig verstanden? #
Hallo,
wenn der Kreis durch A und B geht, ist AB eine Sehne, und die Mittelsenkrechte von AB verläuft durch M.
Stelle also die Geradengleichung für diese Mittelsenkrechte auf.
Jeder Punkt dieser Mittelsenkrechte hat einen bestimten Abstand zu A (den gleichen auch zu B) und einen Abstand zur Geraden g.
Für den Kreismittelpunkt gilt nun, dass sein Abstand zu A genau so groß ist wie sein Abstand zu g.
Du musst also die Terme für die beiden Abstände aufstellen und gleichsetzen.
Gruß Abakus
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