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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 24.01.2005 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
ich habe ein Problem bei dem ich nicht weiter komme.
Die Aufgabe lautet:
Es gibt genau 2 Kugeln mit dem Radius 4, welche die Ebene
[mm] E: 2x_1 +x_2 +2x_3 = 8 [/mm]
berühren und deren Mittelpunkte auf der Geraden durch [mm] P(0/0/1) [/mm] und [mm] Q(1/2/2) [/mm] liegen.
Bestimme die Mittelpunkte dieser beiden Kugeln und ihre Berührpunkte auf E.
Daraufhin habe ich dann erstmal die Gerade g gebildet:
[mm] g: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Nun wollte ich für den Mittelpunktsvektor (aus der Kugelgleichung) die Gerade g nehmen da ja die Mittelpunkte auf dieser Geraden g liegen. Dann würde halt nur der richtige Wert für s fehlen.
Allerdings kam ich damit nicht weiter weil mir ein Berührpunkt fehlt und auf diesen komme ich leider nicht.
Bin dankbar für jede Hilfe
sniBBe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo snibbe
>
> Die Aufgabe lautet:
>
> Es gibt genau 2 Kugeln mit dem Radius 4, welche die Ebene
>
> [mm]E: 2x_1 +x_2 +2x_3 = 8[/mm]
> berühren und deren Mittelpunkte
> auf der Geraden durch [mm]P(0/0/1)[/mm] und [mm]Q(1/2/2)[/mm] liegen.
> Bestimme die Mittelpunkte dieser beiden Kugeln und ihre
> Berührpunkte auf E.
>
Müsste man nicht einfach jene Punkte auf der Geraden suchen, die von der Ebene den Abstand 4 haben?
Dazu würde ich von der Ebene die Hessesche Normalform bestimmen:
[mm] $\bruch{2}{3}x_1 +\bruch{1}{3}x_2 +\bruch{2}{3}x_3 [/mm] - [mm] \bruch{=}{3} [/mm] = d$
> Daraufhin habe ich dann erstmal die Gerade g gebildet:
>
> [mm]g: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Ja, das bedeutet für die Punkte auf der Geraden:
[mm] $x_1=s$
[/mm]
[mm] $x_2=2s$
[/mm]
[mm] $x_3=1+s$
[/mm]
das setzt du einfach in der Hesseschen Normalform ein und setzt für das $d_$ einmal $+4_$, das andere mal $-4_$. Das gibt dann 2 Werte für $s_$. Damit kannst du die beiden Mittelpunkte berechnen ($s_$ in der Geradengleichung einsetzen).
Ich denke, wenn du bei den Mitelpunkten einen Vektor anheftest, der senkrecht auf die Ebene steht und die Länge 4 hat, erhältst du dadurch recht einfach die gesuchten Berührungspunkte. 
Kannst du das jetzt durchführen und deine Lösungen präsentieren?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 24.01.2005 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Habe auch sofort angefangen.
Bin jetzt auf folgende Lösung gekommen.
Nachdem ich in der HNF einmal +4 und dann -4 eingesetzt habe, kommt für s einmal 3 und einmal -1 heraus.
Dadurch komme ich auf folgende Mittelpunkte:
[mm]\vec m_1 \vektor{3 \\ 6 \\ 4}[/mm] und [mm]\vec m_2 \vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
Nun hänge ich aber bei den Berührpunkten fest.
Einen Normalenvektor habe ich gebildet in dem ich die Ebene in Parameterdarstellung umgeformt habe und dann die Richtungsvektoren dafür verwendet habe.
Bin dann auf folgenden [mm]\vec n \vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] gekommen.
Dieser hat jedoch nicht die Länge 4.
Danke nochmal
snibbe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 25.01.2005 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
auf die Idee den Normalenvektor gleich abzulesen bin ich natürlich nicht kommen :D
Habe die Rechnungen bis zum Ende durchgerechnet.
Komme dann auf folgendes [mm]\vec m_1 - \vec n = \vektor{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{14}{3} \\ \bruch{4}{3}}[/mm] wobei [mm] \vec n= \vektor{ \bruch{8}{3} \\ \bruch{4}{3} \\ \bruch{8}{3}}[/mm] ist.
Die Probe stimmt nach dem einsetzen in die Ebene ebenfalls 8=8
[mm] \vec m_2 + \vec n = \vektor{ \bruch{5}{3} \\ -\bruch{2}{3} \\ \bruch{8}{3}}[/mm]
Auch hier stimmt die Probe.
Nochmals vielen Dank für die Hilfe
mfg
snibbe
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Sehr gut. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Siehe oben.
