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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Weisen Sie die folgende Fehlerbeziehung für f [mm] \in C^{2}[a,b] [/mm] nach:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= (b-a)f(\bruch{a+b}{2})+\bruch{f''(\xi)}{24}(b-a)^{3}, \xi \in [/mm] [a,b]. |
Hallo,
die Gleichung oben kann man äquivalent umformen :
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}- (b-a)f(\bruch{a+b}{2})= \bruch{f''(\xi)}{24}(b-a)^{3}.
[/mm]
Ich denke, dass für die Lösung der Aufgabe der Begriff Quadraturfehler wichtig ist.
Für Quadraturfehler braucht man den Interpolationspolynom vom Grad kleiner gleich n der Funktion f. Hier ist n=1, da f in [mm] C^{2}ist.
[/mm]
Der Quadraturfehler ist gegeben durch :
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}-\integral_{a}^{b}{p_{1}(x) dx}.
[/mm]
Meine Frage ist : gilt [mm] (b-a)f(\bruch{a+b}{2})=\integral_{a}^{b}{p_{1}(x) dx} [/mm] ?
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Weisen Sie die folgende Fehlerbeziehung für f [mm]\in C^{2}[a,b][/mm]
> nach:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= (b-a)f(\bruch{a+b}{2})+\bruch{f''(\xi)}{24}(b-a)^{3}, \xi \in[/mm]
> [a,b].
> Hallo,
>
> die Gleichung oben kann man äquivalent umformen :
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}- (b-a)f(\bruch{a+b}{2})= \bruch{f''(\xi)}{24}(b-a)^{3}.[/mm]
>
> Ich denke, dass für die Lösung der Aufgabe der Begriff
> Quadraturfehler wichtig ist.
> Für Quadraturfehler braucht man den Interpolationspolynom
> vom Grad kleiner gleich n der Funktion f. Hier ist n=1, da
> f in [mm]C^{2}ist.[/mm]
> Der Quadraturfehler ist gegeben durch :
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}-\integral_{a}^{b}{p_{1}(x) dx}.[/mm]
>
> Meine Frage ist : gilt
> [mm](b-a)f(\bruch{a+b}{2})=\integral_{a}^{b}{p_{1}(x) dx}[/mm] ?
>
Zur Berechnung des Fehlers schreibst Du den Integranden so:
[mm]f\left(x\right)=f\left(\bruch{a+b}{2}\right)+f'\left(\bruch{a+b}{2}\right)*\left(x-\bruch{a+b}{2}\right)+\bruch{f''\left(\xi\right)}{2!}*\left(x-\bruch{a+b}{2}\right)^{2}[/mm]
Dann musst Du noch das folgende Integral berechnen:
[mm]\integral_{a}^{b}{f\left(\bruch{a+b}{2}\right)+f'\left(\bruch{a+b}{2}\right)*\left(x-\bruch{a+b}{2}\right)+\bruch{f''\left(\xi\right)}{2!}*\left(x-\bruch{a+b}{2}\right)^{2} \ dx}[/mm]
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
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