Mittelwert bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Doke |
Hallo alle zusammen, ich habe folgende Fragestellung: Ich würde gerne den Mittelwert einer Funktion zweier Veränderlicher bestimmen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Man kann sich mein Problem so vorstellen, das ich eine Kreisfläche habe, die einen Parameter bestitz der vom Radius abhängt. Z. B. f(r)= Polynom 2. Grades.
Jetzt möchte ich einen "Mittelwert" über diesen Parameter bilden. D. h. wenn ich die Kreisfläche mit einer "Last" beaufschlage soll sie sich gleich verhalten wie eine Kreisfläche, die an jedem Punkt den Wert des Mittelwerts für den Parameter besitzt.
Ein vielleicht anschaulicheres Beispiel zur möglichen Anwendung: Ich habe eine Kugel mit Raius r, die von oben mit senkrechtem Licht angeleuchtet wird. Der Absorbtions- bzw. Refelxionsgrad soll vom Radius der Kugel abhängen.
Nun möchte ich einen Mittelwert des Absorptionsgrades so bestimmen, dass eine Kreisfläche mit Radius r und dem "Mittelwert-Reflexionsgrad" gleich viel Licht absorbiert. wie die oben beschriebene Kugel.
Das hier wären meine Lösungsansätze:
Wenn ich den Mittelwert nur über den Radius R (eindimensional) bilden möchte würde ich so vorgehen:
[mm] \frac{1}{R} \integral_{0}^{R}{f(r) dr}
[/mm]
Da ich über eine Kreisfläche integrieren mag und so auch nur den Radius r als veränderliche habe bieten sich Zylinderkoordinaten (Radius r und Winkel [mm] \phi) [/mm] an. (Eigentlich hätte ich x und y als Veränderliche, kann so aber keine "kreisförmigen" Integrationsgrenzen angeben).
Also anstatt [mm] \integral \integral_{}^{}{f(x,y)dxdy}
[/mm]
würde ich etwas in der Art
[mm] \frac{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{} \frac{1}{R} \integral_{0}^{R}{f(r)*r* dr*d\phi}
[/mm]
nehmen, wobei das r nach f(r) die Jacobi Matrix sein soll.
Stimmt dieser Ansatz in etwa oder was muss ich verändern?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Soweit ich dein Problem verstanden habe ist dein f(r) bzw. f(x,y) sowas wie ne Intensität pro flächeneinheit, oder Masse pro Flache oer auf jeden Fall ne Größe die pro Flächeneinheit gegeben ist.
dann sind deine Mittelwerte falsch,
1. Nur von r abhängig: ein Kreisring der Fläche [mm] dA=2\pi*rdr [/mm] bekäme dann die Menge dM=f(r)*dA ab. der ganze Kreis also
[mm] $M=\integral_{0}^{r}{dM}=\integral_{0}^{R}{f(r)*2*\pi*r dr}$. [/mm]
die mittlere Menge pro Flächeneinheit wäre [mm] dann:M/(\pi*R^2)
[/mm]
bei f=massenbelegung pro Flächeneinheit wäre das die mittlere Dichte, Bei Beleuchtungsstärke die mittlere Beleuchtungsstärke.
Meintest du das, oder hab ich das problem falsch gesehen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 05.02.2008 | | Autor: | Doke |
LEER
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:06 Di 05.02.2008 | | Autor: | Doke |
Hallo leduart und danke für die schnelle Antwort!
Ich bin mir nicht sicher, ob man das f(r) in diesem Fall ohne weiteres als Größe die pro Flächeneinheit auffassen kann. Wenn ich wieder das Beispiel mit dem Absorptionsgrad des Balles heranziehe bestitzt die Oberfläche radiusabhängig Werte zwischen 0 und 1 (einheitslos) und nicht eine Größe mit einheit .../m².
Bei einer Funktion, die kg/m² als Einheit besitzt kann man zur bestimmung der Masse "einfach" die Massedichte mal über die Fläche (in diesem Fall ein Kreis) integrieren, wie du es mir gezeigt hast:
[mm] $m=\integral_{0}^{R}{f(r)\cdot{}dA}=\integral_{0}^{R}{f(r)\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}r dr}$ [/mm] $ [kg]$
So würde sich der kg/m²-Wert [mm] $m_{Punkt}$ [/mm] einer gleich großen und gleich schweren Fläche mit homogener Masse aus Quotient von Masse und Fläche ergeben:
[mm] $m_{Punkt} [/mm] = [mm] \bruch{m}{F}=\bruch{m}{r^2 \cdot\pi}$ [/mm] $ [kg/m²]$
Wenn ich das gleiche analog für meinen Absorptionsgrad an der Kugel/Fläche durchziehen möchte ist es leider weniger anschaulich, da ich keine Einheiten habe.
Ich nehme z. B. an f(r) wäre ein Polynom 2. Grades: $f(r) = [mm] a\cdot r^2 [/mm] + [mm] b\cdot [/mm] r +c$.
r gehe von 0 bis R=1 und f(r) nehme Werte von c (bei r = 0) bis 0 (bei r = 1 wird praktisch nichts mehr absorbiert) an.
Wie gesagt möchte ich nun ein Absorptionsgrad [mm] $A_{Punkt}$ [/mm] bestimmen, den eine Fläche mit Inhalt [mm] $R^2 \cdot \pi$ [/mm] besitzt, die gleich viel Licht absorbiert wie die Kugel mit f(r) und Radius R; also einen Wert zwischen 0 und c annimt.
Analog zu oben wäre das dann:
[mm] $A_{Punkt}=\bruch{1}{R^2\cdot\pi}\integral_{0}^{R}{f(r)\cdot{}dA}=\bruch{1}{R^2\cdot\pi}\integral_{0}^{R}{f(r)\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}r dr}$
[/mm]
Ist das noch korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 07.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
