Mittelwertsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Sei $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] eine diffbare Funktion auf einem Intervall I und sei $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
[mm] $(i):|f'(x)\le [/mm] c|$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \I$
[/mm]
$(ii): [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] c*|x-y|$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I$ |
Meine Lösung:
[mm] $(i)\Rightarrow [/mm] (ii):$
Sei $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] mit OE $x<y$, sei $|f'(x)| [mm] \le [/mm] c$ [mm] \Rightarrow
[/mm]
Da f diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig.
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig auf $[x,y]$, diffbar auf $(x,y)$
$(MWS) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] o [mm] \in [x,y]:f'(o)=\bruch{f(y)-f(x)}{y-x}$ [/mm] mit $f'(o)=c $
[mm] \Rightarrow [/mm] $|f'(o)|= [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ \le [/mm] $c [mm] \gdw$
[/mm]
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|*c$
[mm] $\Rightarrow [/mm] (ii)$
$(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i):$
Sei $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] mit OE $x<y$, sei [mm] $|f(x)-(f(y)|\le [/mm] |x-y|*c$ [mm] \Rightarrow
[/mm]
Da f diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig.
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig auf $[x,y]$, diffbar auf $(x,y)$ [mm] \Rightarrow
[/mm]
Sei [mm] $c:=sup_{o \in [x,y]}|f'(o)|$ \Rightarrow
[/mm]
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|*c$ [mm] \gdw $\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] *c$
[mm] $(MWS)\Rightarrow$ $\exists [/mm] o [mm] \in [/mm] [x,y]: f'(o) = c [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] c$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I$.
[mm] \Rightarrow [/mm] (ii).
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich bei [mm] (ii)\Rightarrow(i) [/mm] Fehler gemacht habe. Oder ist das doch richtig so ?
Ist es auch Notationsmäßig ok ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo DeusRa.
> Meine Lösung:
> $ [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii): $
> Sei $ x, y [mm] \in \IR [/mm] $ mit OE x<y, sei $ |f'(x)| [mm] \le [/mm] c $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
Wozu brauchst du das $y$? Du möchtest doch lediglich zur Verdeutlichung nochmals die Voraussetzung aufführen. Schreibe also: Es sei [mm] $|f'(x)|\leq [/mm] c$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$. Dann...
> Da f diffbar $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f stetig.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f stetig auf [x,y], diffbar auf (x,y)
Wozu das?
> $ (MWS) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] o [mm] \in [x,y]:f'(o)=\bruch{f(y)-f(x)}{y-x} [/mm] $
Soweit richtig
> mit $ > f'(o)=c $
Nein. Es gilt nicht notwendiger Weise $f'(o)=c$, sondern [mm] $f'(o)\leq [/mm] c$ (nach Voraussetzung).
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ |f'(o)|= [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ c [mm] \gdw [/mm] $
Es ist richtig, jedoch wäre es verständlicher, [mm] $\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|f'(o)|\leq [/mm] c$ zu schreiben; du weißt, dass [mm] $\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|f'(o)|$ [/mm] und ebenso, dass [mm] $|f'(o)|\leq [/mm] c$; so setzt sich dann die obige Kette [in obiger Reihenfolge] zusammen.
> $ |f(x)-f(y)| [mm] \le |x-y|\cdot{}c [/mm] $
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) $
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i): $
> Sei $ x, y [mm] \in \IR [/mm] $ mit OE x<y, sei $ [mm] |f(x)-(f(y)|\le |x-y|\cdot{}c [/mm] $ $
Besser: Sei [mm] $\frac{|f(x)-f(y)|}\leq |x-y|\cdot [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] I$.
> [mm] \Rightarrow [/mm] $
> Da f diffbar $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f stetig.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f stetig auf [x,y], diffbar auf (x,y) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
Das gleiche wie oben. Wozu führst du dies auf?
> Sei $ [mm] c:=sup_{o \in [x,y]}|f'(o)| [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
> $ |f(x)-f(y)| [mm] \le |x-y|\cdot{}c [/mm] $ $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] > [mm] \cdot{}c [/mm] $
> $ [mm] (MWS)\Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \exists [/mm] o [mm] \in [/mm] [x,y]: f'(o) = c [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] c > $ $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I $.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (ii).
Das kann ich nicht mehr nachvollziehen. Arbeite direkt mit der Definition der Ableitung.
Es sei [mm] $x\in [/mm] I$ beliebig gewählt. Zu zeigen: [mm] $f'(x)\leq [/mm] c$. Nach Definition gilt $f'(x) = [mm] \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$. [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] $\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\leq [/mm] c$ für alle $h$, also auch [mm] $f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\leq [/mm] c$, was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
