Mittelwertsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Fr 28.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] differenzierbar, [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{f(x)=c\in\IR.}
[/mm]
Man zeige: Es [mm] \exists [/mm] eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}\in\IR [/mm] mit [mm] a_{n}\to{\red{\infty}} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{f'(a_n)=0}. [/mm] |
Hi,
die Existenz der Folge mit den oben genannten Eigenschaften soll mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gezeigt werden.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt in etwa:
Sei a<b und [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] eine stetige Funktion, die in (a,b) differenzierbar ist, dann existiert ein [mm] \gamma\in{(a,b)} [/mm] mit
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\gamma).
[/mm]
Wie ich jetzt genau argumentiere und wie bzw. wo ich dann die Folge mit einbeziehe, weiß ich nicht.
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Sa 29.09.2007 | | Autor: | SEcki |
> Man zeige: Es [mm]\exists[/mm] eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}\in\IR[/mm] mit
> [mm]a_{n}\to{0}[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{f'(a_n)=0}.[/mm]
Sicher, das das da so steht? Sollte die Folge nicht selbst schon gegen Unendlich gehen?
> Wie ich jetzt genau argumentiere und wie bzw. wo ich dann
> die Folge mit einbeziehe, weiß ich nicht.
Ist dir die ungenaue Def. klar? Warum sollte so etwas denn geben? Die Anschauung ist: je weiter man nach außen geht, desto weniger variieren die Werte im Großen, also der Abstand zwischen zwei Werten geht immer näher an Null, also muss es Stellen geben, deren Ableitungen auch gegen Null gehen. Noch ein Tip: den Abstand der Werte kann man leicht einsperren, bei der Intervalllänge hast du dann aber viel Wahl, sie so groß zu machen wie du willst.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 29.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> > Man zeige: Es [mm]\exists[/mm] eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}\in\IR[/mm] mit
> > [mm]a_{n}\to{0}[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{f'(a_n)=0}.[/mm]
>
> Sicher, das das da so steht? Sollte die Folge nicht selbst
> schon gegen Unendlich gehen?
Du hast Recht - [mm] a_n\to{\infty}
[/mm]
>
> > Wie ich jetzt genau argumentiere und wie bzw. wo ich dann
> > die Folge mit einbeziehe, weiß ich nicht.
>
> Ist dir die ungenaue Def. klar? Warum sollte so etwas denn
> geben? Die Anschauung ist: je weiter man nach außen geht,
> desto weniger variieren die Werte im Großen, also der
> Abstand zwischen zwei Werten geht immer näher an Null, also
> muss es Stellen geben, deren Ableitungen auch gegen Null
> gehen. Noch ein Tip: den Abstand der Werte kann man leicht
> einsperren, bei der Intervalllänge hast du dann aber viel
> Wahl, sie so groß zu machen wie du willst.
>
> SEcki
Bildlich ist mir das schon klar. Wie ich das formal zeige, jedoch nicht.
Vielleicht kannst du den Beweis grob skizzieren?
Soweit, auf jeden Fall schon einmal, danke.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 29.09.2007 | | Autor: | Framl |
Bin mir nicht sicher, ob das so durchgeht, aber hier meine Lösungsidee:
Sei [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $a_n\to \infty$. [/mm]
Sei $I:=[n,n+1]$ Intervall [mm] $\Rightarrow [/mm] (MWS)$ [mm] $\exists a\in [/mm] (n,n+1)$ mit
[mm] $f'(a)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=f(n+1)-f(n)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}f'(a_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}f(n+1)-f(n)=c-c=0$
[/mm]
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> Bin mir nicht sicher, ob das so durchgeht, aber hier meine Lösungsidee:
> Sei $ [mm] (a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] $ eine Folge mit $ [mm] a_n\to \infty [/mm] $.
> Sei $ I:=[n,n+1] $ Intervall $ [mm] \Rightarrow [/mm] (MWS) $ $ [mm] \exists a\in [/mm] (n,n+1) $ mit
> $ [mm] f'(a)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=f(n+1)-f(n) [/mm] $
> $ [mm] \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}f'(a_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}f(n+1)-f(n)=f(c)-f(c)=0 [/mm] $
Hallo,
Deine Lösungsidee ist gut, man muß sie bloß noch ein bißchen zurechtziehen.
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] betrachtest Du also f(n+1) und f(n).
Mit dem Mittelwertsatz erhältst Du: es gibt ein [mm] a_n\in I_n:=(n,n+1) [/mm] mit
[mm] f'(a_n)=\bruch{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=f(n+1)-f(n).
[/mm]
Für [mm] n\to \infty [/mm] geht die Folge [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \infty.
[/mm]
Nun betrachte man [mm] \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}f'(a_n), [/mm] wie Du es getan hast.
Der feine Unterschied zu Deinem Vorschlag: erst durch die Stellen der Mittelwerte wird die Folge [mm] a_n [/mm] definiert. Also erst die Existenz der [mm] a_n, [/mm] dann die Folge.
Gruß v. Angela
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