Mittelwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Es sei: f: [mm] \IR\rightarrow\IR [/mm] stetig differenzierbar und [mm] f'(c)\ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Beweisen sie, dass f monoton wachsend ist. |
Es ist also zz., dass [mm] f(a)\le [/mm] f(b) für [mm] a\le [/mm] b
ich habe an den Hauptsatz der Differential- und Integralerchnung gedacht aber komme iwie auf keinen Ansatz.
f ist die Stammfkt zu f'.
Wenn f monoton wächst bedeutet das, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f'(x) dx} [/mm] = F(b)-F(a) [mm] \ge [/mm] 0 für [mm] a\ge [/mm] b und [mm] a,b\ge [/mm] 0 (für kleiner enstprechend umgekehrt)
Aber wie jetzt weiter?
Wie kann ich hier die Aussage, dass [mm] f'(x)\ge [/mm] 0 ist einfließen lassen?
Über einen Anstoss wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
|
|
| |
|
Hallo,
findest Du die Überschrift für Deine Aufgabe nicht auch sehr, sehr seltsam? Fundamentalsatz der Algebra...
In Deiner Aufgabe soll es gewiß heißen: f'(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Zu Deinem Beweis: da machst Du ja ein ziemliches Gewese. Integral und Stammfunktion?
Da traut man sich ja kaum weiterzulesen...
Ich sag mal so: back to the roots.
Versuch's dies:
nimm an, es wäre die Ableitung überall [mm] \ge [/mm] 0,
und die Funktion wäre nicht wachsend.
Dann findest Du a,b mit ...
Dann den Mittelwertsatz.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
AAAHhhh :-[ ... da habe ich absolut nicht dran gedacht
Okay dann ist es einfach:
Angenommen [mm] f'(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x in [mm] \IR [/mm] und f(x) wäre nicht monoton wachsend, dann fänden sich [mm] a,b\in\IR [/mm] mit a < b und f(a)>f(b)
Dann würde mit dem MIttelwertsatz der Differentialrechnung gelten:
[mm] \exists x_0\in(a,b) [/mm] mit [mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}, [/mm] und somit [mm] f'(x_0)<0 [/mm] was ein Widerspruch wäre. (da f(b)-f(a) < 0 und b-a > 0)
Daher muss f(x) monoton wachsend sein.
Danke :)
So passt das dann oder?
Gruß Zerwas
|
|
|
| |
|
Ja, so paßt's.
Und weil ich Dir so einen tollen Tip gegeben habe, erlaube ich mir jetzt, die Überschrift auch passend zu machen ---
obgleich mir gerade in diesem Moment aufgeht, warum Du sie gewählt hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
