Mittelwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 05.02.2008 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | Zeige folgende Ungleichheiten unter Verwendung des Mittelwertssatzes:
1+x < [mm] e^{x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] , [mm] x\in(0,1) [/mm] |
hallo,
ich brauche hier hilfe. ich weiß leider gar nicht wie ich hier anfangen soll. würd mich über jede hilfe freuen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeige folgende Ungleichheiten unter Verwendung des
> Mittelwertssatzes:
>
> 1+x < [mm]e^{x}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] , [mm]x\in(0,1)[/mm]
> hallo,
> ich brauche hier hilfe. ich weiß leider gar nicht wie ich
> hier anfangen soll. würd mich über jede hilfe freuen
Im Mittelwertsatz geht es doch um ein Intervall mit den Funktionswerten am Anfang und am Ende, und um eine Stelle dazwischen...
Auf alle Fäle haben deine 3 Terme eines gemeinsam: an der linken Interallgrenze (0) haben alle drei Terme den Wert 1.
Was ist mit den rechten Intervallgrenzen?
Was ist mit den Anstiegen im Intervall?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Di 05.02.2008 | | Autor: | silencio |
also an der rechten intervallgrenze ist ja 1+x=2, [mm] e^{x}=e=2,7..., [/mm] und [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] geht gegen unendlich.
Damit weiß ich nun, dass die ungleichung für die intervallgrenzen gilt. die drei terme wachsen alle streng monoton.
nun müsste es ja reichen zu zeigen, dass für alle [mm] x\in(0,1) [/mm] gilt:
1+x < [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] e^{x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
1+x < [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
aber wenn ich das so zeige habe ich ja den mittelwertsatz nicht angewendet.
wie muss ich den jetzt ins spiel bringen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
Was ist, wenn du die Differenz zweier in dieser Ungleichungskette benachbarter Funktionen bildest, z.B. [mm] e^x-(1+x) [/mm] ? Wenn es Stellen gäbe, für die [mm] e^x<1+x [/mm] wäre, dann müsste die Differenz an diesen Stellen negativ sein. Am Intervallanfang ist sie aber Null und am Intervallende positiv. Die Differenzfunktion hätte dann eine Minimumstelle mit dem Anstieg 0. Hilft diese Überlegung irgendwie?
Oder anders: Wenn es außer am Intervallanfang eine weitere Stelle mit gleichem Funktionswert gäbe, müsste es in jeder der beiden Funktionen eine Stelle geben, die den durchschittlichen Anstieg dieses Teilintervalls hätte. 1+x hat aber den Anstieg 1, und [mm] e^x [/mm] hat im Intervall durchgängig einen höheren Anstieg.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 05.02.2008 | | Autor: | silencio |
deine ausführungen sind mir schon klar und ich verstehe auch alles und kann alles nachvollziehen. leider weiß ich trotzdem nicht, wie ich jetzt den beweis führen soll. könntest du mir da vielleicht etwas konkreter helfen?
vielen dank schonmal für die bisherigen antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 05.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Also Mittelwertsatz hin oder her, sind das elementar-mathematisch alles Einzeiler, wenn man die Potenzreihe der exp-Funktion betrachtet:
[mm] $e^x=\sum_{k\ge 0}\frac{x^k}{k!}>\sum_{k=0}^1\frac{x^k}{k!}=1+x$ [/mm] sowie [mm] $e^x [/mm] = [mm] \sum_{k\ge0}\frac{x^k}{k!}< \sum_{k\ge0}x^k=\frac{1}{1-x}$ [/mm] für [mm] $x\in(0,1)$.
[/mm]
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