Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 05.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo Leute!!!
Ich konfrontiere grade mit der Augabe:
[mm] |sin(\wurzel{x+1}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{x})| \le [/mm] 1/2000, wenn x [mm] \ge 10^6
[/mm]
In dem Hinweis zu der Aufgabe steht, der Mittelwertsatz sollte angeblich helfen die Ungleichung zu beweisen, aber ich bin ratlos wie ich ihn hier anwenden soll!!!
Könnte jemand vielleicht mir dabei helfen??
Vielen-vielen Dank schon mal in Voraus!!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit $f(x) = [mm] sin\wurzel{x}$ [/mm] ist
$ [mm] sin(\wurzel{x+1}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{x}) [/mm] = f(x+1)-f(x)$
Sei $x [mm] \ge 10^6$.
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz ist
$f(x+1)-f(x) = f'(t)(x+1-x) = f'(t) = [mm] \bruch{cos\wurzel{t}}{2 \wurzel{t}}$ [/mm] ,
wobei $x [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x+1$, also auch $ t [mm] \ge 10^6$
[/mm]
Also ist
$ [mm] |sin(\wurzel{x+1}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{x})| [/mm] = [mm] |\bruch{cos\wurzel{t}}{2 \wurzel{t}}| \le \bruch{1}{2 \wurzel{t}}$ [/mm] ,
Da $ t [mm] \ge 10^6$ [/mm] ist $2 [mm] \wurzel{t} \ge [/mm] 2000$,
also
[mm] \bruch{1}{2 \wurzel{t}} \le \bruch{1}{2000} [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Do 05.03.2009 | | Autor: | laurel |
Vielen-vielen Dank, Fred!!!
Das ist so nett von dir dass du mir hilfst!!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 05.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo Fred?
Bist du noch da?
Ich hab hier noch eine Ungleichung:
[mm] cos(x)\ge 1-2x/\pi [/mm] für alle [mm] x\in [0,\pi]
[/mm]
Könntest du mir vielleicht noch einbisschen helfen, du muss nicht unbedingt sofort die Lösung hinschreiben, sondern vielleicht einen Tip geben, womit ich anfangen kann. Ich möchte solche Ungleichnungen irgendwann selber ohne Hilfe beweisen können!Es wäre sehr nett von dir!!!
Danke-danke!!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 06.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred?
> Bist du noch da?
Da bin ich wieder
> Ich hab hier noch eine Ungleichung:
> [mm]cos(x)\ge 1-2x/\pi[/mm] für alle [mm]x\in [0,\pi][/mm]
Zunächst einmal muß ich sagen, dass obige Ungleichung auf [mm] [0,\pi][ [/mm] nicht richtig ist, z.B. stimmt sie im Punkt [mm] \bruch{3}{4} \pi [/mm] nicht.
Es gilt aber:
(*) [mm]cos(x) \ge 1-2x/\pi[/mm] für alle [mm]x\in [0,\pi/2][/mm]
und
(**) [mm]cos(x) \le 1-2x/\pi[/mm] für alle [mm]x\in [\pi/2,\pi][/mm]
Mal dir mal ein Bild der Graphen von Cosinus und der Geraden $y = [mm] 1-2x/\pi$, [/mm] dann siehst Du es.
(*) werde ich gleich beweisen, (**) zeigt man dann analog.
Beweis von (*):
Setze $f(x) = cosx -1+2x/ [mm] \pi$ (x\in [0,\pi/2] [/mm] )
Es ist $f(0) = [mm] f(\pi/2) [/mm] = 0$ und [mm] f(\pi/4) [/mm] > 0. Weiter ist $f'x) = [mm] -sinx+2/\pi$
[/mm]
Dann sieht man: $f'$ hat in [mm] [0,\pi/2] [/mm] genau eine Nullstelle [mm] x_0, [/mm] also [mm] sinx_0 [/mm] = [mm] 2/\pi. [/mm] Daraus erhält man: [mm] cosx_0 [/mm] = [mm] \wurzel{1-\bruch{4}{\pi^2}}, [/mm] also ist
[mm] $f''(x_0) [/mm] < 0 $
f hat somit im Intervall [mm] [0,\pi/2] [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein absolutes Maximum .
Daher auch: [mm] f(x_0) [/mm] > 0
Annahme: in [mm] [0,\pi/2] [/mm] gibt es ein [mm] x_1 [/mm] mit [mm] f(x_1)<0. [/mm] Wir können [mm] x_1
(spätestens jetzt solltest Du Dir eine Skizze machen)
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm] x_2 \in (x_1,x_0) [/mm] mit [mm] f(x_2) [/mm] = 0
Nach dem Satz von Rolle ex. ein [mm] t_1 \in [0,x_2] [/mm] mit [mm] f'(t_1) [/mm] = 0 und es ex. ein [mm] t_2 \in [x_2, \pi/2] [/mm] mit [mm] f'(t_2) [/mm] = 0
Wie oben schon festgestellt, $f'$ hat in [mm] [0,\pi/2] [/mm] genau eine Nullstelle , also ist
[mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
somit haben wir den Widerspruch [mm] f(x_0) [/mm] = 0.
Obige Annahme müssen wir also fallen lassen und somit gilt:
$f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ auf [0, [mm] \pi/2]
[/mm]
Damit ist (*) gezeigt.
FRED
> Könntest du mir
> vielleicht noch einbisschen helfen, du muss nicht unbedingt
> sofort die Lösung hinschreiben, sondern vielleicht einen
> Tip geben, womit ich anfangen kann. Ich möchte solche
> Ungleichnungen irgendwann selber ohne Hilfe beweisen
> können!Es wäre sehr nett von dir!!!
> Danke-danke!!!
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Fr 06.03.2009 | | Autor: | laurel |
Vielen-vielen Dank, Fred!!!
Du hattest wirklich recht mit [mm] [0,\pi/2], [/mm] ich hab mich verschrieben.
Ich hab es verstanden, hoffe weiter schaffe ich das selber solche Ungleichnungen zu beweisen!!
Nochmal vielen-vielen Dank!!
LG laurel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Fr 06.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo laurel,
ich denke , es gibt noch einen einfacheren Beweis,
Falls Du mal die musterlösung zu obiger Aufgabe hast, präsentiere sie mal in diesem Forum.
Grüße FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mo 09.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, Fred!
ich hab leider keine Musterlösung zu der Aufgabe! Hätte sie auch gerne gehabt, aber ich besitze nur deine.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 10.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hätte zu der Lösung ein paar Fragen.
>f hat somit im Intervall $ [mm] [0,\pi/2] [/mm] $ an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ ein absolutes >Maximum .
>Daher auch: $ [mm] f(x_0) [/mm] $ > 0
Wieso folgt das denn daraus, dass [mm] f(x_0) [/mm] ein Maximum ist? Ich hätte eher [mm] x_0 [/mm] in f(x) eingesetzt (und es ist wirklich >0).
Und zum "Annahme-Teil":
>Nach dem Satz von Rolle ex. ein $ [mm] t_1 \in [0,x_2] [/mm] $ mit $ [mm] f'(t_1) [/mm] $ = 0 und
>es ex. ein $ [mm] t_2 \in [x_2, \pi/2] [/mm] $ mit $ [mm] f'(t_2) [/mm] $ = 0
Streng genommen müssten das offene Intervalle sein, oder? Also [mm] (0;x_2) [/mm] und [mm] (x_2;\bruch{\pi}{2}). [/mm] Aber natürlich findet man dann auch mindestens eine Extremstelle, wenn man die Intervalle vergrößert.
Aber würde das auch so gehen, wenn ich das so rechne?
Annahme:
Es existiert ein [mm] x_1
Nach dem Satz von Rolle müsste es dann genau 2 Extrema geben, einmal in [mm] (0;x_2) [/mm] und einmal in [mm] (x_2;\bruch{\pi}{2}) [/mm] (da [mm] f(0)=f(\bruch{\pi}{2})=0). [/mm] Geht aber nicht, da schon herausgefunden wurde, dass es nur genau eine Extremstelle gibt. Widerspruch, es kann also kein [mm] x_1
(Analog dann der Rest, wie du es beschrieben hast)
Würde das so auch gehen oder steckt da irgendwo ein Denkfehler?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
>
> Hätte zu der Lösung ein paar Fragen.
>
> >f hat somit im Intervall [mm][0,\pi/2][/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein
> absolutes >Maximum .
> >Daher auch: [mm]f(x_0)[/mm] > 0
>
> Wieso folgt das denn daraus, dass [mm]f(x_0)[/mm] ein Maximum ist?
f hat auf [0, [mm] \pi/2] [/mm] als stetige Funktin ein absolutes Max. Am Rand dieses Intervalls ist f = 0, also wird das Max. im Inneren an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] angenommen. Dann ist aber [mm] f'(x_0) [/mm] = 0
> Ich hätte eher [mm]x_0[/mm] in f(x) eingesetzt (und es ist wirklich
> >0).
>
> Und zum "Annahme-Teil":
>
> >Nach dem Satz von Rolle ex. ein [mm]t_1 \in [0,x_2][/mm] mit
> [mm]f'(t_1)[/mm] = 0 und
> >es ex. ein [mm]t_2 \in [x_2, \pi/2][/mm] mit [mm]f'(t_2)[/mm] = 0
>
> Streng genommen müssten das offene Intervalle sein, oder?
> Also [mm](0;x_2)[/mm] und [mm](x_2;\bruch{\pi}{2}).[/mm] Aber natürlich
> findet man dann auch mindestens eine Extremstelle, wenn man
> die Intervalle vergrößert.
>
> Aber würde das auch so gehen, wenn ich das so rechne?
>
> Annahme:
> Es existiert ein [mm]x_1
> Zwischenwertsatz gibt es dann ein [mm]x_2 \in (x_1;x_0)[/mm] mit
> [mm]f(x_2)=0.[/mm]
> Nach dem Satz von Rolle müsste es dann genau 2 Extrema
> geben, einmal in [mm](0;x_2)[/mm] und einmal in [mm](x_2;\bruch{\pi}{2})[/mm]
> (da [mm]f(0)=f(\bruch{\pi}{2})=0).[/mm] Geht aber nicht, da schon
> herausgefunden wurde, dass es nur genau eine Extremstelle
> gibt. Widerspruch, es kann also kein [mm]x_1
> geben.
> (Analog dann der Rest, wie du es beschrieben hast)
>
> Würde das so auch gehen oder steckt da irgendwo ein
> Denkfehler?
Prima, so gehts auch.
FRED
>
> Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 10.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, das versteh ich, aber ich versteh nicht, wieso der Hochpunkt über der x-Achse liegen muss. Er könnte ja theoretisch auch drunter liegen!
Denn es heißt ja bei dir dann direkt [mm] f(x_0)>0.
[/mm]
Und danke für das Feedback!
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hm ja, das versteh ich, aber ich versteh nicht, wieso der
> Hochpunkt über der x-Achse liegen muss. Er könnte ja
> theoretisch auch drunter liegen!
Sind wir uns einig, das f auf [0, [mm] \pi/2] [/mm] ein absolutes Max. an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] hat ?
Das ist so , weil stetige Funktionen auf kompakten Def.-Bereichen Max. und Min. annehmen.
Dann gilt also: f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] in jedem x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi/2]
[/mm]
also auch: 0 = f(0) [mm] \le f(x_0). [/mm] Wäre [mm] f(x_0) [/mm] = 0, so wäre f auf [0, [mm] \pi/2] [/mm] konstant, was aber nicht der Fall ist. Somit : [mm] f(x_0) [/mm] > 0
FRED
> Denn es heißt ja bei dir dann direkt [mm]f(x_0)>0.[/mm]
>
> Und danke für das Feedback!
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Di 10.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Ah ja, sorry, alles klar jetzt!
Habe auch übersehen, dass es ja genau einen Extremum gibt, in meinen (Schreckens)Szenariren gab es eh immer mehrere.
Danke!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 09.03.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | | [mm] |tan(x)-x|\le1/3000 [/mm] wenn x [mm] \in[-1/20,1/20] [/mm] ( hinweis [mm] 1/20<\pi/4 [/mm] ) |
Hallo, Leute!!!
Ich hab hier noch eine Ungleichnung gekriegt!!
Kann mir jemand vll einen Tipp geben, wie ich dran gehen soll!!
Besten Dank schon mal!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fred hat dir doch so schoene Vorlagen gegeben.
Was ist die Tangente an tanx in 0? bzw. was ist f'(0)
versuchs mal alleine mit dem Tip . Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 09.03.2009 | | Autor: | laurel |
Danke, Leduart, für deine Antwort!!
Also sei f(x)=tan(x)-x, dann
[mm] f'(x)=1-tan^2(x)-1=tan^2(x)
[/mm]
f´(0) [mm] =tan^2(0)=0
[/mm]
Dann habe ich versucht das ganze mit dem Mittelwetrsatz zu berechnen:
[mm] \bruch{tan(1/20)-1/20-tan(-1/20)-1/20}{1/20+1/20}=f [/mm] ´(0)
[mm] \bruch{tan(1/20)-tan(-1/20)-1/10}{1/10}=0
[/mm]
10tan(1/20)-10tan(-1/20)-1=0
tan(1/20)-tan(-1/20)=1/10
Dann muss ich glaube ich den Hinweis nutzen, aber das bringt mich irgendwie nicht weiter, oder hab ich irgendwas vergessen??
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist doch nicht der MWS
er sagt doch [mm] (f(a)-f(b))/(a-b)=f'(x_0) [/mm] fuer ein [mm] x_0 [/mm] aus [a,b]
oder [mm] |(f(a)-f(b))/(a-b)|\le max_{x_0\in [a,b]} |f(x_0)|
[/mm]
das = Zeichen bei dir ist falsch.
Versuchs doch nochmal damit!
wo liegt das max der Ableitung denn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 09.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Das ist doch nicht der MWS
> er sagt doch [mm](f(a)-f(b))/(a-b)=f'(x_0)[/mm] fuer ein [mm]x_0[/mm] aus
> [a,b]
> oder [mm]|(f(a)-f(b))/(a-b)|\le max_{x_0\in [a,b]} |f(x_0)|[/mm]
Korrekt:
[mm]|(f(a)-f(b))/(a-b)|\le max_{x_0\in [a,b]} |f'(x_0)|[/mm]
FRED
>
> das = Zeichen bei dir ist falsch.
> Versuchs doch nochmal damit!
> wo liegt das max der Ableitung denn?
> Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 09.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, Fred und Leduard!!!
Ich hab geguckt, wo die Ableitung von f(x)=tan(x)-x ihr Maximum hat, aber das sit nicht die 0, in der 0 hat sie das Minimum, weil die dritte Abelitung positiv nähmlich 2 ist, dann sind es die Grenzen des Intervals [mm] \bruch{1}{20} [/mm] und [mm] -\bruch{1}{20}.
[/mm]
[mm] \bruch{|tan(1/20)-tan(-1/20)-1/10|}{1/10}\le|tan(1/20)-1/20|<|tan(\pi/4)-\pi/4|
[/mm]
Ist es jetzt soweit in Ordnung?oder liege ich wieder total daneben?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo wend doch mal wirklich exakt den MWS auf die funktion tanx-x im intervall [0,1/20] an vergiss da [mm] \pi/4 [/mm] und schreib mit a=1/20 b=0 den MWS auf
Bei dir kommt ja die ableitung gar nicht vor. (bei meinem einen post hatte ich den strich am f leider vergessen, das hat fred ja berichtigt. und du haettest es merken muessen, denn eigentlich kennst du ja den MWS!
fuer ne bessere Abschaetzung nimm nur die 2 Intervalle 0,1/20 und -1/20,0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 10.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hi, Leduard!
Ich hab dann also für den Intervall [mm] [0,\bruch{1}{20}]:
[/mm]
[mm] |\bruch{tan(\bruch{1}{20})-\bruch{1}{20}-tan(0)+0}{\bruch{1}{20}}|\le max_{x_0\in[0,\bruch{1}{20}]} |tan^2(x_0)|
[/mm]
und für den anderen Intervall [-1/20, 0]
[mm] |\bruch{tan(0)-0-tan(\bruch{1}{20})- \bruch{1}{20}}{\bruch{1}{20}}|\le max_{x_0\in[\bruch{-1}{20},0]} |tan^2(x_0)|
[/mm]
Wie ich schon gesagt habe, die erste Ableitung von f(x) hat in 0 ein Minimum:
f´´ [mm] (x)=2tan(x)(1+tan^2(x))
[/mm]
f´´´ [mm] (x)=(1+tan^2(x))(2+6tan^2(x))
[/mm]
Also muss dann das Maximum an den Ränden des Intervalls liegen:
[mm] |\bruch{tan(\bruch{1}{20})-\bruch{1}{20}-tan(0)+0}{\bruch{1}{20}}|\le |tan^2(\bruch{1}{20})| [/mm] und
[mm] |\bruch{tan(0)-0-tan(\bruch{1}{20})- \bruch{1}{20}}{\bruch{1}{20}}|\le |tan^2(\bruch{-1}{20})|
[/mm]
Wie komme ich aber zu der gewünschten Zahl???
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum rechnest du nicht was du hast zu ende
[mm] |tanx-x|\le |tan(1/20)-1/20|\le 1/20*tan^2(1/20)\approx [/mm] 1/20*0.0025=0.000125
wenn du lieber das ganze Intervall nimmst dann hast du vor f" 1/10 stehen , das ist naeher an den 1/3000
Aber wenn du deine Zahlen nicht einsetzt kannst du ja nie sehen , was du hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Di 10.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, Leduart!!
Ich hab versucht es auszurechnen, aber ohne Taschenrechner weiß ich ja nicht, was [mm] tan^2(\bruch{1}{20})\bruch{1}{20} [/mm] ist. Kann man das irgendwie ausrechnen? Wenn ich in der Klausur sitze, dann hab ich den Taschenrechner nicht.
Danke für deine Hilfe, echt nett von dir!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das wusste ich nicht. Dann benutze den MWS noch mal
fuer da Intervall 0 bis [mm] \pi/4
[/mm]
und du hast [mm] |tanx-tan0|\le |1+tan^2\pi/4||*|x|=2x
[/mm]
damit [mm] tan^2(x)<4x^2
[/mm]
damit hast du insgesamt [mm] tan^2(1/20)<4/400=1/100
[/mm]
Wenn du noch [mm] tan\pi/6 [/mm] kannst (halbes gleichseitiges Dreieck , [mm] 1/\wurzel{3}) [/mm] wird die Abschaetzung noch was besser.
sieh nach, wie weit du damit an die geforderte Grenze kommst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 10.03.2009 | | Autor: | laurel |
Einen riiiiesen Danke-schön von mir, Leduard!!!:)
Gruß. laurel
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