Mittelwertsatz anwenden < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 06.07.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei f: IR-->IR eine diffbare Fkt mit f(0)=0, deren Ableitung f' eine monoton wachsende Fkt ist. Zeige, dass:
g(0, [mm] \infty [/mm] )--IR, g(x)= [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] monoton wachsend ist. |
Also, wenn f' monoton wachsend ist, so ist f'' [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] IR. Weiß aber nicht, ob man das braucht. Mann will ja zeigen: g'(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Von daher hätte ich mal mit dem Differenzenquotient angesetzt, also [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{g(x)-g(a)}{x-a}. [/mm] Im nächsten Schritt würde ich dann g(x) durch [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] ersetzen. Kann man so ansetzen? Ich sehe allerdings noch nicht, wo man den Mittelwertsatz einsetzen kann...
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Hiho,
vorweg: versuch doch bitte wenigstens den Formel-Editor zu nutzen. Das machht es für alle lesenden wirklich erträglicher.
> Also, wenn f' monoton wachsend ist, so ist f'' [mm]\ge[/mm] 0
Wo steht, dass f überhaupt zweimal differenzierbar ist?
f'' muss gar nicht existieren.
> Mann will ja zeigen: g'(x) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x
Das könnte man zeigen, ja.
> Von daher hätte ich mal mit dem Differenzenquotient
> angesetzt, also [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{g(x)-g(a)}{x-a}.[/mm]
> Im nächsten Schritt würde ich dann g(x) durch
> [mm]\bruch{f(x)}{x}[/mm] ersetzen. Kann man so ansetzen? Ich sehe
> allerdings noch nicht, wo man den Mittelwertsatz einsetzen
> kann...
Du kannst g'(x) doch direkt mit Hilfe der Quotientenregel hinschreiben.
Mach das doch mal.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 06.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Also g'(x)= [mm] \bruch{f'(x)*x-f(x)}{x^2} [/mm] und das soll [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Damit dieser Bruch [mm] \ge [/mm] 0 ist, muss ja f'(x)*x [mm] \ge [/mm] f(x) sein, oder (der Nenner ist ja eh positiv)?
Wie kann ich dann den Mittelwertsatz einsetzen?
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Hiho,
> Also g'(x)= [mm]\bruch{f'(x)*x-f(x)}{x^2}[/mm] und das soll [mm]\ge[/mm] 0 sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit dieser Bruch [mm]\ge[/mm] 0 ist, muss ja f'(x)*x [mm]\ge[/mm] f(x)
> sein, oder (der Nenner ist ja eh positiv)?
> Wie kann ich dann den Mittelwertsatz einsetzen?
Er steht doch förmlich schon da!
Wende den Mittelwertsatz mal auf die Stellen x und 0 an. Überlege dir, wo die Zwischenstelle herkommt und nutze dann noch, dass f' monoton wachsend ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 06.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Also, der Mittelwertsatz besagt ja, dass (wenn f stetig und diffbar in (a,b)) es ein c [mm] \in [/mm] (a,b) gibt mit [mm] f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}. [/mm]
Wenn jetzt also x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] ist, dann ist [mm] f'(x)=\bruch{f(b)}{b}. [/mm] Also existiert ja in unsrem Fall ein x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] mit f'(x)*x [mm] \ge [/mm] f(x). Die Schnittstelle liegt also zwischen 0 und [mm] \infty [/mm] Damit ist ja dann auch x >0
man muss sich doch jetzt ,,nur'' noch überlegen, dass f'(x) [mm] \ge [/mm] f(x) ist. Oder lege ich ganz daneben?
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Hiho,
> Also, der Mittelwertsatz besagt ja, dass (wenn f stetig und diffbar in (a,b)) es ein c [mm]\in[/mm] (a,b) gibt mit [mm]f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.[/mm]
"stetig und diffbar".... gibt es denn eine Funktion die unstetig und diffbar ist?
> Wenn jetzt also x [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] ist,
Hier ist es schon falsch. Für den Mittelwertsatz brauchst du ein Intervall, [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist keins. Der Rest deiner Argumentation ist auch fehlerhaft und daher unbrauchbar.
Ich sagte doch bereits: Du sollst den Mittelwertsatz auf die zwei Punkte 0 und x anwenden! Warum hast du das ignoriert? Setze also b=x, a=0 dann steht da....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Sa 07.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Wenn a=0 und b=x ist, hätte man ja schonmal ein Intervall [0;x]. Dann würde da stehen, dass es ein c [mm] \in [/mm] [0,x] gibt, mit [mm] f'(c)=\bruch{f(x)}{x}. [/mm] f(0) hebt sich ja auf, da f(0)=0 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Sa 07.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Wenn a=0 und b=x ist, hätte man ja schonmal ein Intervall
> [0;x]. Dann würde da stehen, dass es ein c [mm]\in[/mm] [0,x] gibt,
> mit [mm]f'(c)=\bruch{f(x)}{x}.[/mm] f(0) hebt sich ja auf, da f(0)=0
> ist.
Vergleiche nun mit [m]f'(x)[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Sa 07.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Nun ja, dann ist f'(x) [mm] \ge [/mm] f'(c).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Sa 07.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Nun ja, dann ist f'(c)=f'(x).
Unsinn !
f' ist nach Vor. mon. wachsend. Wegen c [mm] \le [/mm] x ist dann f'(c) [mm] \le [/mm] f'(x)
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 07.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Nun ja, dann ist f'(x) [mm]\ge[/mm] f'(c).
Oh Mann. Ja, das stimmt, aber mach doch einfach die Aufgabe zu Ende! Sollen wir dir jetzt noch einmal den Thread laut vorlesen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Sa 07.07.2012 | | Autor: | rollroll |
Kann ich daraus sofort folgern, dass f'(x) * x [mm] \ge [/mm] f(x) ist?
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Hiho,
> Kann ich daraus sofort folgern, dass f'(x) * x [mm]\ge[/mm] f(x) ist?
Wir nehmen dir hier nicht das denken ab, also ehrlich:
Schreibe doch bitte nochmal die letzten 4-5 Fragen // Antworten untereinander auf, heißt:
Wende den Mittelwertsatz an, schätze ab. Welche Ungleichung steht dann da.
Folgt daraus obige Ungleichnung.
Also bitte....
MFG,
Gono.
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