Mittelwertsatz für Kurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 11.06.2012 | | Autor: | loggeli |
| Aufgabe | Es sei [mm] \vec{c} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] und a,b [mm] \in \IR, [/mm] a<b.
Ist [mm] \vec{c} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] stetig differenzierbar, dann gibt es eine Zwischenstelle z [mm] \in [/mm] (a,b) mit [mm] \vec{c}(b)-\vec{c}(a)=\vec{c}'(z)(b-a).
[/mm]
Begründe, weshalb diese Aussage gilt, oder gebe ein Gegenbeispiel an. |
Hi,
also ich hatte mir zu der Aufgabe folgendes gedacht:
Da a,b [mm] \in \IR [/mm] und a<b sowie [mm] \vec{c} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] stetig ist, müsste die Aussage ja eigentlich gelten, weil sie exakt der Definition des Mittelwersatzes im eindimensionalen entspricht. Auch die Bedingung, die gelten erfüllt die angegebene Funktion. Somit kann ich schreiben:
[mm] \vec{c}'(z) [/mm] = [mm] \vec{c}(b)-\vec{c}(a) [/mm] / (b-a)
Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob man das so machen kann. Irgendwie kommt mir meine Überlegung zu einfach vor... da müsste noch mehr dahinterstecken.
Hättet ihr da vielleicht eine Idee? Freue mich auf Antworten.
Besten Gruß,
loggeli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Aussage gilt i.a. nicht !
Betrachte mal
$ [mm] \vec{c} [/mm] $ : [0, 2 [mm] \pi] [/mm] $ [mm] \to \IR^2 [/mm] $, [mm] \vec{c}(t)=(cos(t),sin(t))
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 11.06.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
vielen Dank für die Blitzantwort. Bin leider erst jetzt dazu gekommen alles vollständig aufzuschreiben.
[mm] \vec{c}(t)=(cos(t),sin(t))
[/mm]
[mm] \vec{c}'(t)=(-sin(t),cos(t))
[/mm]
[mm] \vec{c}(b) [/mm] = [mm] \vec{c}(2\pi) [/mm] = 0
[mm] \vec{c}(a) [/mm] = [mm] \vec{c}(0) [/mm] = 0
Geforderter Mittelwertsatz: [mm] \vec{c}'(z) [/mm] = [mm] \vec{c}(b)-\vec{c}(a) [/mm] / (b-a)
Hier allerdings: [mm] \vec{c}'(z) [/mm] = 0
Ein solches z existiert aber nicht. Weil es keinen Punkt gibt, andem sowohl der cos, alsauch der sin gleichzeitig 0 sind.
Könnte man das so schreiben?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
Gruß,
loggeli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:34 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> vielen Dank für die Blitzantwort. Bin leider erst jetzt
> dazu gekommen alles vollständig aufzuschreiben.
>
> [mm]\vec{c}(t)=(cos(t),sin(t))[/mm]
> [mm]\vec{c}'(t)=(-sin(t),cos(t))[/mm]
>
> [mm]\vec{c}(b)[/mm] = [mm]\vec{c}(2\pi)[/mm] = 0
> [mm]\vec{c}(a)[/mm] = [mm]\vec{c}(0)[/mm] = 0
>
> Geforderter Mittelwertsatz: [mm]\vec{c}'(z)[/mm] =
> [mm]\vec{c}(b)-\vec{c}(a)[/mm] / (b-a)
> Hier allerdings: [mm]\vec{c}'(z)[/mm] = 0
>
> Ein solches z existiert aber nicht. Weil es keinen Punkt
> gibt, andem sowohl der cos, alsauch der sin gleichzeitig 0
> sind.
>
> Könnte man das so schreiben?
Ja
FRED
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
>
> Gruß,
> loggeli
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> Die Aussage gilt i.a. nicht !
>
> Betrachte mal
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> [mm]\vec{c}[/mm] : [0, 2 [mm]\pi][/mm] [mm]\to \IR^2 [/mm],
> [mm]\vec{c}(t)=(cos(t),sin(t))[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred,
dieses Gegenbeispiel "lebt" in erster Linie davon, dass
dabei die Kurve geschlossen ist wegen [mm] \vec{c}(a)=\vec{c}(b) [/mm] .
Ich finde, dass man die Aufgabe so modifizieren könnte,
dass das Wesentliche der Aussage klarer zu Tage treten
würde. Die Aussage wird sogar erweitert, aber Beispiele
mit [mm] \vec{c}(a)=\vec{c}(b) [/mm] werden ausgeschlossen.
| Aufgabe | Es sei $ [mm] \vec{c} [/mm] $ : [a,b] $ [mm] \to \IR^n [/mm] $ mit n $ [mm] \in \IN [/mm] $ und a,b $ [mm] \in \IR, [/mm] $ a<b.
Ist $ [mm] \vec{c} [/mm] $ : [a,b] $ [mm] \to \IR^n [/mm] $ stetig differenzierbar und [mm] \vec{c}(a)\not=\vec{c}(b) [/mm] ,
dann gibt es eine Zwischenstelle z $ [mm] \in [/mm] $ (a,b) und eine
reelle Zahl k mit $ [mm] \vec{c}\,'(z)\ [/mm] =\ [mm] k*\left(\vec{c}(b)-\vec{c}(a)\right)$ [/mm] .
Begründe, weshalb diese Aussage gilt, oder gib ein Gegenbeispiel an. |
Sinnvollerweise würde man von der Kurve sogar Regularität
fordern, d.h. [mm] \vec{c}\,' [/mm] soll nirgends verschwinden.
Man könnte die Aufgabe dann "anschaulich" so formulieren:
Sind zwei verschiedene Punkte A und B im [mm] \IR^n [/mm] durch eine
reguläre differenzierbare Kurve c verbunden, so gibt es auf c
einen Punkt Z, dessen Tangente parallel zur Strecke AB ist.
Im [mm] \IR^2 [/mm] trifft diese Aussage zu, im [mm] \IR^3 [/mm] aber im Allgemeinen
nicht mehr.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Di 12.06.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
danke euch beiden für die super Hilfe. Hat mir riesig weitergeholfen :)
Gruß,
loggeli
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