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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 26.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die Zufallsgröße X (= Lebensdauer eines bestimmten Maschinentyps) sei durch folgende Dichtefunktion beschreibbar:
$ [mm] f(x)=\begin{cases}\lambda^2 x e^{-\lambda x}&\text{für } x \geq 0 \\ 0&\text{sonst } \end{cases} [/mm] $
Berechnen sie für [mm] $\lambda [/mm] = [mm] 0,002^{-1}$ [/mm] die mittlere Lebensdauer [mm] $\mu$ [/mm] eines solchen Maschinentyps und die Wahrschienlichkeit, dass die Lebensdauer einer Maschine dieses Typs geringer als die mittlere Lebensdauer ist. |
Hi Leute!
Bei obiger Aufgabe stellen sich mir nun mehr Fragen. Ich soll also die mittlere Lebensdauer berechnen. Wie geht das? In meinem Skript dazu hab ich nix gefunden, aber in Wikipedia dazu steht, dass die mittlere Lebensdauer die einer solchen Dichtefunktion folgt, man erst differenzieren soll und danach mit 0 bis [mm] $\infty$ [/mm] integrieren soll. Wenn ich das tue, komm ich auf "0", was nicht stimmen kann, denn das Beispiel im Internet gibt dort als Ergebnis [mm] $\mu [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda}$ [/mm] an.
Was mache ich falsch?
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Hiho,
du hast eine Verteilungsdichte gegeben.
Die "mittlere Lebensdauer" ist nun nichts anderes als der Erwartungswert.
Weißt du, wie du diesen berechnest?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 26.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich gehe mal davon aus, dass du mit Verteilungsdichte die "Dichtefunktion" meinst, oder?
Der Erwartungswert berechnet sich so: $ [mm] \operatorname E(X)=\int_{-\infty}^\infty [/mm] x [mm] f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] $
Die zu berechnende Wahrscheinlichkeit ist dann die Verteilungsfunktion die sich durch Integration der dichtefunktion ergibt, oder? Dazu muss ich aber doch ein intervall wissen, in dem ich integrierenmuss. Wo ist dieses Intervall in der Aufgabe gegeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 26.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich hab ehrlich gesagt nun Probleme, das Integral zu berechnen...
$ [mm] \operatorname E(X)=\int_{0}^\infty [/mm] x [mm] f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] \int_{0}^\infty [/mm] x [mm] \cdot \lambda^2 \cdot [/mm] x [mm] \cdot e^{-\lambda x} [/mm] = [mm] \lambda^2 \int_{0}^\infty x^2 \cdot e^{-\lambda x} [/mm] = ...$
Partielle Integration bringt mich hier leider nicht weiter...
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Doch, partielle Integration funktioniert. Man kann aber auch einen geeigneten Ansatz machen. Wenn nämlich [mm]p(x)[/mm] ein Polynom zweiten Grades ist, dann berechnet man für
[mm]F(x) = p(x) \operatorname{e}^{- \lambda x}[/mm]
als erste Ableitung
[mm]F'(x) = \left( p'(x) - \lambda \cdot p(x) \right) \operatorname{e}^{- \lambda x}[/mm]
Hier ist [mm]p'(x)[/mm] vom Grad 1, die Klammer insgesamt also wieder ein Polynom vom Grad 2. Jetzt kann man mit dem Ansatz
[mm]p(x) = ax^2 + bx + c[/mm]
wo [mm]a,b,c[/mm] noch zu bestimmende Parameter sind, aus
[mm]p'(x) - \lambda \cdot p(x) = x^2[/mm]
durch Koeffizientenvergleich [mm]a,b,c[/mm] bestimmen. So bekommt man schließlich die gesuchte Stammfunktion [mm]F(x)[/mm].
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Hiho,
> Partielle Integration bringt mich hier leider nicht weiter...
bitte Ansätze mal mehr als nur halbherzig verfolgen.
Hättest du partielle Integration richtig gemacht, hättest du festgestellt, dass es dich eben doch weiterbringt.... also bitte mal durchziehen (im Bedarfsfall eben mehr als einmal.....)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 27.05.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \operatorname E(X)=\int_{0}^\infty [/mm] x [mm] f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] \int_{0}^\infty [/mm] x [mm] \cdot \lambda^2 \cdot [/mm] x [mm] \cdot e^{-\lambda x} [/mm] = [mm] \lambda^2 \int_{0}^\infty x^2 \cdot e^{-\lambda x} [/mm] = ... = 2 [mm] \cdot \frac{1}{\lambda}$
[/mm]
Entschuldige bitte du hast Recht. Zweimalige partielle Integration bringt einen wirklich weiter. Ist das Ergebnis richtig? Wenn ich hier nun für [mm] \lambda [/mm] = [mm] 0,02^{-1} [/mm] einsetze komm ich für [mm] \mu [/mm] auf [mm] \frac{1}{250}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 So 27.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Hilfe! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 27.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Wahrschienlichkeit, dass die Lebensdauer einer Maschine dieses Typs geringer als die mittlere Lebensdauer ist.
Wie berechne ich nun diese Wahrscheinlichkeit? Muss ich die gegebene Dichtefunktion nun integrieren?
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Hiho,
> Wie berechne ich nun diese Wahrscheinlichkeit? Muss ich die
> gegebene Dichtefunktion nun integrieren?
jop, bis zum angegebenen Wert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich denke, dass das dann so passen sollte:
$F(x) = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] f(x) dx = ... = [mm] -\lambda$
[/mm]
Nach partieller Integration komm ich dann auf das obige Ergebnis. Aber das Minus kommt mir falsch vor...
Wenn ich davon nun, die Wahrscheinlichkeit berechnen will haben wir diesen Ansatz gelernt:
$P(0 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq \infty) [/mm] = [mm] F(\infty) [/mm] - F(0) = ...$
Da ich aber in der integrierten Funktion F(x) kein Argument mehr hab (es ist ja nur noch der Faktor [mm] \lambda [/mm] über!) kann ich da ja nix mehr einsetzen...
Wie geht das dann hier?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
die Dichte ist gegeben und mit ihrer Hilfe hast Du die mittlere Lenesdauer ausgerechnet zu einem Wert von [mm] \bruch{2}{\lambda} [/mm] Für das Integral über die Dichtefunktion ist genau dieser Wert die obere Grenze des Integrals.
Da die Dichtefunktion doch zwischen Null und Unendlich liegt, wird natürlich ein Ausdruck [mm] F(\infty) - F(0) [/mm] zu einer 1 führen, dem sicheren Ereignis.
Darum geht es hier ja aber gar nicht, sondern Du sollst den Wert [mm] F(\bruch{2}{\lambda}) - F(0) [/mm] bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke! Das wusste ich nicht.
Muss ich also so integrieren:
$ [mm] \operatorname F(X)=\int_{0}^{\frac{\lambda}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] $
Oder muss ich erst unbestimmt integrieren um danach [mm] F(\frac{\lambda}{2}) [/mm] - F(0)$ berechnen zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Ja,
dieser Ausdruck entspricht, durch die Integration über die Dichte, der Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine ihre mittlere Lebensdauer erreicht.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \operatorname F(X)=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = ... = -2 [mm] \cdot e^{-2} [/mm] + [mm] \lambda \cdot e^{-2} [/mm] = 67,4$
Ich hab nun nach dem integrieren mit den richtigen Grenzen diesen Term als Ergebnis. Wenn ich nun für [mm] \lambda [/mm] den gegebenen Wert einsetze, komm ich auf -1.
Gleiche Frage wie vorhin: Wenn ich nun als Integral-Ergebnis -1 bekomme, wie soll ich da ohne einer Variable [mm] \frac{\lambda}{2} [/mm] und 0 einsetzen, damit ich die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, wie's hier steht:
$ P(0 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq \infty) [/mm] = [mm] F(\frac{\lambda}{2}) [/mm] - F(0) = ... $
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Hiho,
> [mm]\operatorname F(X)=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x = ... = -2 \cdot e^{-2} + \lambda \cdot e^{-2} = 67,4[/mm]
>
> Ich hab nun nach dem integrieren mit den richtigen Grenzen
> diesen Term als Ergebnis. Wenn ich nun für [mm]\lambda[/mm] den
> gegebenen Wert einsetze, komm ich auf -1.
Halt!
Du musst da nix mehr einsetzen.
Was du da berechnest, ist nicht F(x) (aufpassen, da steht ein kleines x!), sondern [mm] $F\left(\bruch{2}{\lambda}\right)$, [/mm] heißt: Du berechnest die Verteilungsfunktion schon an der gesuchten Stelle.
> Gleiche Frage wie vorhin: Wenn ich nun als
> Integral-Ergebnis -1 bekomme, wie soll ich da ohne einer
> Variable [mm]\frac{\lambda}{2}[/mm] und 0 einsetzen, damit ich die
> Wahrscheinlichkeit berechnen kann, wie's hier steht:
Du musst nix mehr einsetzen, warum, siehe oben.
Entweder du berechnest F(x) und dann muss die obere Grenze x sein und setzt DANN ein, oder du berechnest gleich [mm] $F\left(\bruch{2}{\lambda}\right)$, [/mm] dann musst du aber auch nix mehr einsetzen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ah, verstehe! Das hat unser Dozent auch noch nicht gesagt... Naja egal, jetzt weiß ich es ja.
Stimmt das Ergebnis dann so:
$ [mm] \operatorname F(X)=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = ... = -2 [mm] \cdot e^{-2} [/mm] + [mm] \lambda \cdot e^{-2} \approx [/mm] 67,4 $
Kommt das Ergebnis nun schon in Prozent raus? 67,4 kommt mir etwas hoch vor, wenn ich jetzt NOCHMAL mit 100 multiplizieren muss, damit ich auf % komm.
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Hiho,
> [mm]\operatorname F(X)=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x = ... = -2 \cdot e^{-2} + \lambda \cdot e^{-2} \approx 67,4[/mm]
nochmal: Du berechnest NICHT F(x) und schon gar nicht F(X), sondern [mm] $F\left(\frac{2}{\lambda}\right)$!
[/mm]
Dann ist deine Lösung $2 [mm] \cdot e^{-2} [/mm] + [mm] \lambda \cdot e^{-2}$ [/mm] falsch und wie du dann (selbst wenn man von deiner Lösung ausgeht) auf 67,4 kommst, ist mir auch schleierhaft!
Generelle Frage: Welche Werte nimmt eine Verteilungsfunktion denn überhaupt an?
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Eine Verteilungsfunktion kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen...
$ [mm] \operatorname F(\frac{2}{\lambda})=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] \lambda^2 \cdot \int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} [/mm] x [mm] \cdot e^{-\lambda x} [/mm] dx = [mm] \lambda^2 \left( \left[ -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda x} \cdot x \right]_0^{\frac{2}{\lambda}} - \int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} e^{-\lambda x} dx \right) [/mm] = [mm] \lambda^2 \left( \left[ -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda x} \cdot x \right]_0^{\frac{2}{\lambda}} - \left[ -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda x}\right]_0^{\frac{2}{\lambda}} \right) [/mm] = [mm] -2e^{-2} [/mm] + [mm] \lambda e^{-2} [/mm] + [mm] \lambda \approx [/mm] 567,4$
Was ja demzufolge auch falsch ist.
Ich weiß ehrlich gesagt jetzt wirklich nicht mehr was da falsch sein soll. Ich hab jetzt die gleich Rechnung schon 4 mal (!) gerechnet!
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Hiho,
> Eine Verteilungsfunktion kann nur Werte zwischen 0 und 1
> annehmen...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ [mm] \operatorname F(\frac{2}{\lambda})=\int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] \lambda^2 \cdot \int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} [/mm] x [mm] \cdot e^{-\lambda x} [/mm] dx = [mm] \lambda^2 \left( \left[ -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda x} \cdot x \right]_0^{\frac{2}{\lambda}} - \int_{0}^{\frac{2}{\lambda}} e^{-\lambda x} dx \right) [/mm] $
Hier fehlt im Integral der Faktor [mm] $\bruch{-1}{\lambda}$
[/mm]
Schreib für die partielle Integration dir mal sauber auf, was dein u,u',v,v' ist, dann siehst du es.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich komm jetzt ganz am Schluss auf: [mm] $-2e^{-2}-e^{-2}+1 \approx [/mm] 0,594$
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Hiho,
> Ich komm jetzt ganz am Schluss auf: [mm]-2e^{-2}-e^{-2}+1 \approx 0,594[/mm]
Oder kürzer: $1 - [mm] 3e^{-2}$.
[/mm]
Und das Erstaunlichste an der Aufgabe: Die Angabe von [mm] \lambda [/mm] war gar nicht wirklich notwendig, da das Ergebnis unabhängig von [mm] \lambda [/mm] ist
Und was lernen wir noch: Anstatt ... sollte man immer seinen gesamten Rechenweg hier posten, dann findet man deine Fehler auch schneller.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mo 28.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Hilfe! Ich werd mich beim nächsten mal dran halten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
aufpassen: Als obere Grenze muss natürlich [mm] \bruch{2}{\lambda} [/mm] stehen und nicht [mm] \bruch{\lambda}{2}
[/mm]
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Ich gehe mal davon aus, dass du mit Verteilungsdichte die
> "Dichtefunktion" meinst, oder?
Jop.
> Der Erwartungswert berechnet sich so: [mm]\operatorname E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x[/mm]
> Die zu berechnende Wahrscheinlichkeit ist dann die
> Verteilungsfunktion die sich durch Integration der
> dichtefunktion ergibt, oder?
Jop.
> Dazu muss ich aber doch ein intervall wissen, in dem ich integrierenmuss. Wo ist dieses Intervall in der Aufgabe gegeben?
"dass die Lebensdauer einer Maschine dieses Typs geringer als die mittlere Lebensdauer ist."
Oder knapper ausgedrückt: "kleiner als der Erwartungswert ist."
MFG,
Gono.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
