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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 01.09.2009 | | Autor: | anti_88 |
| Aufgabe | Sei (R,+, *) ein kommutativer Ring; A [mm] \subseteq [/mm] R. Dann:
A R-Modul [mm] \gdw [/mm] A Ideal von R |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also zum großen Teil ist mir die Aussage klar, ich verstehe nur nicht, warum A ein R-Modul ist und kein Untermodul.
Denn die Eigenschaften eines Ideals sind ja dieselben wie die eines Untermoduls.(A Untergruppe von (R,+) und [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R und a [mm] \in [/mm] A gilt [mm] r*a\in [/mm] A)
Somit wäre ja die Aussage: a Ideal von R [mm] \gdw [/mm] a Untermodul von R.
Aber wie komme ich denn jetzt darauf, dass das Ideal äquivalent zum Modul ist?
Ist bestimmt nur ein Kniff, aber ich steh leider aufm Schlauch. Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (R,+, *) ein kommutativer Ring; A [mm]\subseteq[/mm] R. Dann:
> A R-Modul [mm]\gdw[/mm] A Ideal von R
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also zum großen Teil ist mir die Aussage klar, ich
> verstehe nur nicht, warum A ein R-Modul ist und kein
> Untermodul.
Jeder Untermodul ist auch wieder ein Modul.
> Denn die Eigenschaften eines Ideals sind ja dieselben wie
> die eines Untermoduls.(A Untergruppe von (R,+) und [mm]\forall[/mm]
> r [mm]\in[/mm] R und a [mm]\in[/mm] A gilt [mm]r*a\in[/mm] A)
> Somit wäre ja die Aussage: a Ideal von R [mm]\gdw[/mm] a
> Untermodul von R.
Ja, und diese Aussage ist auch besser formuliert: wenn man einfach sagt $A$ Ideal von $R$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $A$ $R$-Modul, wird nicht gesagt, wie die $R$-Modul-Struktur von $A$ genau aussieht. Gemeint ist ja die $R$-Modul-Struktur, die $A$ durch die $R$-Modul-Struktur von $R$ "erbt", also mit der $A$ ein $R$-Untermodul von $R$ ist.
Das steht da leider nicht explizit, aber es ist so gemeint.
Wenn man also die Aussage so versteht:
$A$ Ideal in $R$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $A$ $R$-Modul mit der durch $R$ induzierten $R$-Modulstruktur
dann stimmt sie.
LG Felix
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