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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Berechnen Sie möglichst effizient und ohne Taschenrechner
(a) (99*236) mod 5
(b) (27+82*13) mod 4 |
Hallo,
ich habe eine wahrscheinlich etwas blöde Frage, aber das Thema "Modulare Arithmetik" ging leider total an mir vorbei.
Und zwar habe ich mit oben stehender Aufgabe ein Problem. Ich habe absolut keine Idee, was das heißt, was dort steht. Ich wüsste nicht einmal, wie ich das mit Taschenrechner ausrechnen könnte :-(
Kann mir jemand erklären, was dieses "mod" genau bedeutet und wie man derartige Aufgaben schriftlich als auch am Taschenrechner "normalerweise" löst?
Ich werde leider auch aus dem Script meines Profs nicht schlauer. Das einzige was ich entnehmen konnte war, dass man bei modularer Arithmetik nur mit ganzen Zahlen rechnet und es was mit den Resten von Divisionen zu tun hat.
Falls mich da jemand aufklären könnte, wäre ich sehr dankbar 
Viele Grüße
Andi
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> Berechnen Sie möglichst effizient und ohne Taschenrechner
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> (a) (99*236) mod 5
> (b) (27+82*13) mod 4
> Hallo,
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> ich habe eine wahrscheinlich etwas blöde Frage, aber das
> Thema "Modulare Arithmetik" ging leider total an mir
> vorbei.
>
> Und zwar habe ich mit oben stehender Aufgabe ein Problem.
> Ich habe absolut keine Idee, was das heißt, was dort steht.
> Ich wüsste nicht einmal, wie ich das mit Taschenrechner
> ausrechnen könnte :-(
Hallo
(99*236) mod 5 sagt Dir, daß Du herausfinden sollst, welchen Rest 99*236 bei der Multiplikation mit 5 läßt, in welche Restklasse modulo 5 (99*236) also gehört.
Du kannst es z.B. so herausfinden:
99=95+4=5k+4 für ein [mm] k\in \IZ
[/mm]
236=5l + 1 für ein l [mm] \in \IZ
[/mm]
Nun multiplizierst Du beide und schaust nach, welcher Rest bleibt, nachdem Du soviele Vielfache von 5 herausgezogen hast wie möglich.
Ich weiß ja nicht, was Ihr zum Theam bisher hattet.
Du könntest auch rechnen: 99*236 [mm] \equiv [/mm] 4*1 mod 5.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hi Angela,
Das heißt also generell erstma gefragt, dass die folgende Aufgabe...
(99*236) mod 5
folgendes Lösung hat?...
4*1 mod 5
Denn:
[mm] \bruch{99}{5} [/mm] = 95 mit Rest 4
[mm] \bruch{236}{5} [/mm] = 47 mit Rest 1
Falls ich falsch liege, was ist dann die Lösung der Aufgabe?
Ich kenne modulo bisher nur vom Programmieren, wo ich sagen würde:
ergebnis = (99%5) * (236%5);
Ist das das selbe?
Gruß
Andi
PS: Zum Fortschritt des Themas könnte man sagen, dass ich bei null bin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Gilga |
Aus deiner Antwort schließe ich, dass du wirklich gar keine Ahnung von Modularer Arithmetik hast. Such dir einen Artikel (z.b. wikipedia) oder ein Buch und lies das entsprechende Kapitel durch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Dass ich davon keine Ahnung habe, sagte ich ja bereits in meinem ersten Artikel.
Und anstatt mir Dinge zu sagen, die ich ohnehin bereits weiss, könntest du mir ja lieber einige Links geben, wo sowas gut erklärt steht. Denn anscheind gibt es sowas ja, sonst würdest du mich nicht drauf hinweisen.
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> Hi Angela,
>
> Das heißt also generell erstma gefragt, dass die folgende
> Aufgabe...
> (99*236) mod 5
>
> folgendes Lösung hat?...
> 4*1 mod 5
Ja.
Man könnte das aber mit 4*1=4 noch etwas eleganter gestalten...
>
> Denn:
> [mm]\bruch{99}{5}[/mm] = 95 mit Rest 4
> [mm]\bruch{236}{5}[/mm] = 47 mit Rest 1
Genau.
> Zum Fortschritt des Themas
Dieses Rechnen modulo irgendwas ist ein Rechnen mit Resten (Restklassen). Statt mit den eigentlichen Zahlen rechnest Du mit den Resten, die bzgl. der Division durch eine vorgegebene Zahl bleiben.
Man kann zeigen, daß diese Restklassen mod n mit passnder Addition und Multiplikation einen Ring bilden, den Restklassenring modulo n.
Zum ![[]](/images/popup.gif) Rechnen mit Kongruenzen kannst Du ja mal ein bißchen was nachlesen.
Ich weiß ja nicht, was Du können solltest lt. Vorlesung.
Versuch nun mit diesem Wissen mal die zweite Aufgabe. (Du kannst sie ja mit dem Taschenrechner nachprüfen.)
> würde:
> ergebnis = (99%5) * (236%5);
> Ist das das selbe?
Das weiß ich nun wiederum gar nicht. Wenn 4 herauskommt, wird's dasselbe sein... Probier's doch mal aus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hi Angela,
>
> Zum
> Rechnen mit Kongruenzen
> kannst Du ja mal ein bißchen was nachlesen.
> Ich weiß ja nicht, was Du können solltest lt. Vorlesung.
>
vielen Dank für den wiki Link, hatte immer nur unter "Modulare Arithmetik" gesucht, bin dort aber kaum fündig geworden.
> Versuch nun mit diesem Wissen mal die zweite Aufgabe. (Du
> kannst sie ja mit dem Taschenrechner nachprüfen.)
>
Zweite Aufgabe lautet:
(27+82*13) mod 4
27 modulo 4 = 3, denn 24/4 = 6, rest 3
82 modulo 4 = 2, denn 82/4 = 20, rest 2
13 modulo 4 = 1, denn 12/4 = 3, rest 1
Also hätte ich als Ergebnis:
3+2*1 = 5
Ist das korrekt?
> > würde:
> > ergebnis = (99%5) * (236%5);
> > Ist das das selbe?
>
> Das weiß ich nun wiederum gar nicht. Wenn 4 herauskommt,
> wird's dasselbe sein... Probier's doch mal aus.
>
Ja, das Ergebnis ist auch 4
Noch eine letzte Frage, wie rechne ist das am Taschenrechner geschickt?
Danke für die Hilfe und viele Grüße
Andi
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Hallo Tauphi!
> Zweite Aufgabe lautet:
> (27+82*13) mod 4
>
> 27 modulo 4 = 3, denn 24/4 = 6, rest 3
> 82 modulo 4 = 2, denn 82/4 = 20, rest 2
> 13 modulo 4 = 1, denn 12/4 = 3, rest 1
>
> Also hätte ich als Ergebnis:
> 3+2*1 = 5
>
> Ist das korrekt?
Das kann ja nicht sein, denn 5>4, und bei einer Division durch 4 kann doch kein Rest rauskommen, der größer als 4 ist.  Ist mir aber selber erst beim zweiten Blick aufgefallen.
Dein Ansatz ist richtig, nur musst du dann bei der Rechnung 3+2*1 auch noch modulo 4 rechnen - also vom Ergebnis 5 einfach nur nochmal möglichst oft 4 abziehen.
Dein Ergebnis kannst du übrigens selbst immer überprüfen, indem du mit dem Taschenrechner den ersten Teil ausrechnest, also 27+82*13, und dies dann modulo 4 rechnest, also z. B. dein herausgefundenes Ergebnis abziehst und wenn der "Rest" dann durch 4 teilbar ist, war's richtig. Dabei musst du natürlich beachten, dass dein Ergebnis im Falle von mod 4 nicht größer als 4 sein darf.
> > > ergebnis = (99%5) * (236%5);
> > > Ist das das selbe?
> >
> > Das weiß ich nun wiederum gar nicht. Wenn 4 herauskommt,
> > wird's dasselbe sein... Probier's doch mal aus.
> >
> Ja, das Ergebnis ist auch 4
Ich habe die modulo-Rechnung auch das erste Mal im Zusammenhang mit dem Programmieren kennengelernt - es ist genau dasselbe. Wenn du das also kennst, kennst du es eigentlich.
> Noch eine letzte Frage, wie rechne ist das am
> Taschenrechner geschickt?
Ich mache es immer so: ich teile die Zahl, welche ich modulo berechnen möchte, durch die entsprechende Zahl - hier also z. B. 1093 geteilt durch 4. Vor dem Komma steht dann 273. Und dann rechne ich einfach 1093-4*273 und erhalte genau das Ergebnis. Bei Zahlen wie 4 reicht dann auch einfach 4*273 - dass der Rest dann 1 ist, sieht man ja direkt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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