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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 17.10.2009 | | Autor: | anti_88 |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] \IZ^{n}:= \IZ \oplus [/mm] ... [mm] \oplus \IZ
[/mm]
Bei komponentenweiser Addition wird [mm] \IZ^{n} [/mm] zu einer abelschen Gruppe.
Sei [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ^{n} \to \IZ^{n} [/mm] mit (a, [mm] (z_{1},...,z_{n})) \mapsto (az_{1}, az_{2}, [/mm] ..., [mm] az_{n}). \forall [/mm] a [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] (z_{1},...,z_{n}) \in \IZ^{n}
[/mm]
Dann wird [mm] \IZ^{n} [/mm] zu einem [mm] \IZ [/mm] - Modul mit der Basis {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}. |
| Aufgabe 2 | Im Fall n=2 lassen sich die Elemente von [mm] \IZ^{2} [/mm] als Gitter in [mm] \IR^{2} [/mm] auffasen.
Zum Beispiel ist [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] ein Untermodul von [mm] \IZ^{2} [/mm] mit der Basis {(2,0); (0,3)}; {(1,0);(0,1)} ist Basis des [mm] \IZ [/mm] - Moduls [mm] \IZ^{2}.
[/mm]
Gibt es weitere Erzeugendensysteme für [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ? [/mm] |
Also da [mm] (\IZ,+) [/mm] eine abelsche Gruppe ist und [mm] (\IZ,+,*) [/mm] ein Ring und die Multiplikation auch schon definiert ist, muss ich ja nur die Moduleigenschaften nachweisen.
Ich wollte eigentlich nur fragen ob es auch einfacher geht, als auf meine folgende umständliche Weise.
(i) [mm] (a_{1}+a_{2})*(z_{1}, [/mm] ... , [mm] z_{n}) [/mm]
= [mm] ((a_{1}+a_{2})*z_{1}, [/mm] ... , [mm] (a_{1}+a_{2})*z_{n})
[/mm]
= [mm] (a_{1}*z_{1} [/mm] + [mm] a_{2}*z_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{1}*z_{n} [/mm] + [mm] a_{2}*z_{n})
[/mm]
= [mm] (a_{1}*z_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{1}*z_{n}) [/mm] + [mm] (a_{2}*z_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{2}*z_{n})
[/mm]
= [mm] a_{1}* (z_{1}, [/mm] ... , [mm] z_{n}) [/mm] + [mm] a_{2}* (z_{1}, [/mm] ... , [mm] z_{n})
[/mm]
(
analog die ganze rechnerei dann für
(ii) a* [mm] ((z_{1_{1}},...,z_{1_{n}})+(z_{2_{1}}, [/mm] ... , [mm] z_{2_{m}}))
[/mm]
= ...
= a* [mm] (z_{1_{1}},...,z_{1_{n}}) [/mm] + [mm] a*(z_{2_{1}}, [/mm] ... , [mm] z_{2_{m}})
[/mm]
(Distributivgesetzte)
und für (iii) [mm] (a_{1}*a_{2})*(z_{1}, [/mm] ... , [mm] z_{n}) [/mm]
= [mm] ((a_{1}*a_{2})*z_{1}, [/mm] ... , [mm] (a_{1}*a_{2})*z_{n}) [/mm]
= [mm] (a_{1}*a_{2}*z_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{1}*a_{2}*z_{n}) [/mm]
= [mm] (a_{1}*(a_{2}*z_{1}), [/mm] ... , [mm] a_{1}*(a_{2}*z_{1}))
[/mm]
= [mm] a_{1} [/mm] * [mm] ((a_{2}*z_{1}), [/mm] ... , [mm] (a_{2}*z_{1}))
[/mm]
= [mm] a_{1} [/mm] * [mm] ((a_{2}*(z_{1}), [/mm] ... , [mm] z_{1}))
[/mm]
(Assoziativgesetz)
Ich weiß halt nicht, ob das ich das alles so rechnen darf oder ob man das auch anders beweisen kann?
Und die Basis ist {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}, weil ich mit der Linearkombination dieser Elemente alle Elemente in [mm] \IZ^{n} [/mm] darstellen kann oder? Muss ich das auch noch beweisen?
zu Aufgabe 2:
Reicht es, wenn ich ein Gitter zeichne und man sieht, dass alle Gitterpunkte von [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] auch in dem Gitter von [mm] \IZ^{2} [/mm] liegen oder muss ich dann noch explizit die Untermoduleigenschaften beweisen, wenn ich doch weiß, dass [mm] \IZ^{2} [/mm] ein [mm] \IZ [/mm] - Modul ist, da ich das allgemeine dafür ja vorher nachgewiesen habe?
Und ich glaube es gibt keine weiteren Erzeugendensysteme für [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ, [/mm] oder? ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen kann.
Für jede Hilfe schonmal im Voraus Dankeschön!
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> Sei [mm]\IZ^{n}:= \IZ \oplus[/mm] ... [mm]\oplus \IZ[/mm]
> Bei
> komponentenweiser Addition wird [mm]\IZ^{n}[/mm] zu einer abelschen
> Gruppe.
> Sei [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ^{n} \to \IZ^{n}[/mm] mit (a, [mm](z_{1},...,z_{n})) \mapsto (az_{1}, az_{2},[/mm]
> ..., [mm]az_{n}). \forall[/mm] a [mm]\in \IZ[/mm] und [mm](z_{1},...,z_{n}) \in \IZ^{n}[/mm]
>
> Dann wird [mm]\IZ^{n}[/mm] zu einem [mm]\IZ[/mm] - Modul mit der Basis
> {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}.
> Im Fall n=2 lassen sich die Elemente von [mm]\IZ^{2}[/mm] als
> Gitter in [mm]\IR^{2}[/mm] auffasen.
> Zum Beispiel ist [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] ein Untermodul von [mm]\IZ^{2}[/mm]
> mit der Basis {(2,0); (0,3)}; {(1,0);(0,1)} ist Basis des
> [mm]\IZ[/mm] - Moduls [mm]\IZ^{2}.[/mm]
>
> Gibt es weitere Erzeugendensysteme für [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ?[/mm]
> Und ich glaube es gibt keine weiteren Erzeugendensysteme
> für [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ,[/mm] oder? ich weiß aber nicht, wie ich das
> zeigen kann.
Hallo
nur zu deiner letzten Frage betr. andere Erzeugen-
densysteme: die gibt es sehr wohl. Nimm z.B.
[mm] $\{(4,-3),(-2,3)\}
[/mm]
Daraus lassen sich genau die Elemente von [mm] 2\IZ\times3\IZ
[/mm]
erzeugen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 17.10.2009 | | Autor: | anti_88 |
Dankeschön,
aber dann gibt es doch unendlich viele Erzeugendensysteme oder nicht? Basis ist ja nur das linear unabhängige, minimale Erzeugendensystem, aber Erzeugendensysteme an sich müssten dann doch eigentlich alle Vielfachen der Basisvektoren oder des Erzeugendensystems {(4,-3), (-2,3)} sein oder?
Also wäre doch z.B. {(-2,6), (2,-3)} auch Erzeugendensystem oder nicht?
Ansonsten Ideen zu dem Rest? :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> aber dann gibt es doch unendlich viele Erzeugendensysteme
> oder nicht?
Ja, die gibt es. Die Gruppe [mm] $GL_2(\IZ)$ [/mm] operiert auf der Menge der Basen von [mm] $\IZ^2$ [/mm] und auf der Menge der Basen von [mm] $2\IZ \times [/mm] 3 [mm] \IZ \cong \IZ^2$. [/mm] Damit gibt es soviele Basen wie es Elemente in [mm] $GL_2(\IZ)$ [/mm] gibt, und davon gibt es unendlich viele.
> Basis ist ja nur das linear unabhängige,
Streiche das "das" und ersetze es durch "ein", wenn schon!
> minimale Erzeugendensystem, aber Erzeugendensysteme an sich
> müssten dann doch eigentlich alle Vielfachen der
> Basisvektoren oder des Erzeugendensystems {(4,-3), (-2,3)}
> sein oder?
Wieso muessen sie das? Du vergisst z.B. das Addieren von einem Vektor zu einem anderen. Und Multiplizieren darfst du nur mit [mm] $\pm [/mm] 1$.
> Also wäre doch z.B. {(-2,6), (2,-3)} auch
> Erzeugendensystem oder nicht?
Ja. Aber [mm] $\{ (8, -6), (-4, 6) \}$ [/mm] ist z.B. keins.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\IZ^{n}:= \IZ \oplus[/mm] ... [mm]\oplus \IZ[/mm]
> Bei
> komponentenweiser Addition wird [mm]\IZ^{n}[/mm] zu einer abelschen
> Gruppe.
> Sei [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ^{n} \to \IZ^{n}[/mm] mit (a, [mm](z_{1},...,z_{n})) \mapsto (az_{1}, az_{2},[/mm]
> ..., [mm]az_{n}). \forall[/mm] a [mm]\in \IZ[/mm] und [mm](z_{1},...,z_{n}) \in \IZ^{n}[/mm]
>
> Dann wird [mm]\IZ^{n}[/mm] zu einem [mm]\IZ[/mm] - Modul mit der Basis
> {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}.
> Im Fall n=2 lassen sich die Elemente von [mm]\IZ^{2}[/mm] als
> Gitter in [mm]\IR^{2}[/mm] auffasen.
> Zum Beispiel ist [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] ein Untermodul von [mm]\IZ^{2}[/mm]
> mit der Basis {(2,0); (0,3)}; {(1,0);(0,1)} ist Basis des
> [mm]\IZ[/mm] - Moduls [mm]\IZ^{2}.[/mm]
>
> Gibt es weitere Erzeugendensysteme für [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ?[/mm]
>
> Also da [mm](\IZ,+)[/mm] eine abelsche Gruppe ist und [mm](\IZ,+,*)[/mm] ein
> Ring und die Multiplikation auch schon definiert ist, muss
> ich ja nur die Moduleigenschaften nachweisen.
Ja. (Oder dir ueberlegen, dass jede abelsche Gruppe automatisch ein [mm] $\IZ$-Modul [/mm] ist.)
> Ich wollte eigentlich nur fragen ob es auch einfacher geht,
> als auf meine folgende umständliche Weise.
>
> (i) [mm](a_{1}+a_{2})*(z_{1},[/mm] ... , [mm]z_{n})[/mm]
> = [mm]((a_{1}+a_{2})*z_{1},[/mm] ... , [mm](a_{1}+a_{2})*z_{n})[/mm]
> = [mm](a_{1}*z_{1}[/mm] + [mm]a_{2}*z_{1},[/mm] ... , [mm]a_{1}*z_{n}[/mm] +
> [mm]a_{2}*z_{n})[/mm]
> = [mm](a_{1}*z_{1},[/mm] ... , [mm]a_{1}*z_{n})[/mm] + [mm](a_{2}*z_{1},[/mm] ... ,
> [mm]a_{2}*z_{n})[/mm]
> = [mm]a_{1}* (z_{1},[/mm] ... , [mm]z_{n})[/mm] + [mm]a_{2}* (z_{1},[/mm] ... ,
> [mm]z_{n})[/mm]
> (
> analog die ganze rechnerei dann für
>
> (ii) a* [mm]((z_{1_{1}},...,z_{1_{n}})+(z_{2_{1}},[/mm] ... ,
> [mm]z_{2_{m}}))[/mm]
> = ...
> = a* [mm](z_{1_{1}},...,z_{1_{n}})[/mm] + [mm]a*(z_{2_{1}},[/mm] ... ,
> [mm]z_{2_{m}})[/mm]
>
> (Distributivgesetzte)
>
> und für (iii) [mm](a_{1}*a_{2})*(z_{1},[/mm] ... , [mm]z_{n})[/mm]
> = [mm]((a_{1}*a_{2})*z_{1},[/mm] ... , [mm](a_{1}*a_{2})*z_{n})[/mm]
> = [mm](a_{1}*a_{2}*z_{1},[/mm] ... , [mm]a_{1}*a_{2}*z_{n})[/mm]
> = [mm](a_{1}*(a_{2}*z_{1}),[/mm] ... , [mm]a_{1}*(a_{2}*z_{1}))[/mm]
> = [mm]a_{1}[/mm] * [mm]((a_{2}*z_{1}),[/mm] ... , [mm](a_{2}*z_{1}))[/mm]
> = [mm]a_{1}[/mm] * [mm]((a_{2}*(z_{1}),[/mm] ... , [mm]z_{1}))[/mm]
>
> (Assoziativgesetz)
>
> Ich weiß halt nicht, ob das ich das alles so rechnen darf
> oder ob man das auch anders beweisen kann?
Du darfst das so machen. Allerdings solltest du nicht vergessen, jeweils zu erwaehnen, was [mm] $a_1, a_2, z_1, \dots, z_n$ [/mm] sind.
> Und die Basis ist {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}, weil ich
> mit der Linearkombination dieser Elemente alle Elemente in
> [mm]\IZ^{n}[/mm] darstellen kann oder? Muss ich das auch noch
> beweisen?
Ja, das ist so, und ja, das musst du beweisen. Auch das sie linear unabhaengig sind.
> zu Aufgabe 2:
> Reicht es, wenn ich ein Gitter zeichne und man sieht, dass
> alle Gitterpunkte von [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] auch in dem Gitter von
> [mm]\IZ^{2}[/mm] liegen oder muss ich dann noch explizit die
> Untermoduleigenschaften beweisen, wenn ich doch weiß, dass
> [mm]\IZ^{2}[/mm] ein [mm]\IZ[/mm] - Modul ist, da ich das allgemeine dafür
> ja vorher nachgewiesen habe?
Es wurde nicht gesagt, dass du zeigen sollst, das es ein Untermodul ist. Theoretisch musst du aber noch die Untermoduleigenschaften zeigen, wenn du behauptest, dass es ein Untermodul ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 18.10.2009 | | Autor: | anti_88 |
Hallo, erstmal vielen lieben Dank für die Antworten :)
Also dass jede abelsche Gruppe ein [mm] \IZ-Modul [/mm] ist glaub ich meine nächste Aufgabe, die ich zeigen muss :)
Ich hätte das jetzt so gemacht.
Man braucht ja eine Abbildung [mm] \IZ [/mm] x G [mm] \to [/mm] G mit
[mm] (z,g)\mapsto\begin{cases} g+...+g, & \mbox{für } z>0 \\ 0, & \mbox{für } z=0 \\ -(g+...+g), & \mbox{für} z<0 \end{cases} [/mm] wobei g+...+g die z-fache Addition von g bedeutet und (G,+) abelsche Gruppe und [mm] (\IZ,+,*) [/mm] Ring ist.
Dann wird G zu einem [mm] \IZ-Modul.
[/mm]
Ja und mein Beweis ist jetzt glaub ich ein wenig merkwürdig, aber ich schreib ihn mal auf:
Da die z-fache Addition von g ja äquivalent ist mit z*g, ist die Abbildung ja eigentlich [mm] (z,g)\mapsto [/mm] z*g.
Und nun die drei Moduleigenschaften nachweisen:
(i) [mm] (z_{1}+z_{2})*g [/mm] = [mm] \underbrace{g+...+g}_{z_{1}+z_{2} -mal} [/mm] = [mm] \underbrace{g+...+g}_{z_{1} -mal} [/mm] + [mm] \underbrace{g+...+g}_{z_{2} -mal} [/mm] = [mm] z_{1}*g [/mm] + [mm] z_{2}*g
[/mm]
(ii) [mm] z*(g_{1}+g_{2}) [/mm] = [mm] \underbrace{(g_{1}+g_{2})+...+(g_{1}+g_{2})}_{z -mal} [/mm] = [mm] \underbrace{g_{1}+...+g_{1}}_{z -mal} [/mm] + [mm] \underbrace{g_{2}+...+g_{2}}_{z -mal} [/mm] = [mm] z*g_{1} [/mm] + [mm] z*g_{2}
[/mm]
(iii) [mm] (z_{1}*z_{2})*g [/mm] = [mm] \underbrace{g+...+g}_{z_{1}*z_{2} -mal} [/mm] = [mm] \underbrace{z_{2}*g+...+z_{2}*g}_{z_{1} -mal} [/mm] = [mm] z_{1}*(z_{2}*g)
[/mm]
(i),(ii),(iii), [mm] \forall [/mm] z, [mm] z_{1}, z_{2} \in \IZ [/mm] , g, [mm] g_{1}, g_{2} \in [/mm] G
Kann man das so beweisen? Kommt mir irgendwie komisch vor.
Das kann ich dann also bei der Aufgabe benutzen und muss nicht nochmal extra die Moduleigenschaften beweisen.
Zu der Basis der Aufgabe:
> > Und die Basis ist {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}, weil ich
> > mit der Linearkombination dieser Elemente alle Elemente in
> > [mm]\IZ^{n}[/mm] darstellen kann oder? Muss ich das auch noch
> > beweisen?
>
> Ja, das ist so, und ja, das musst du beweisen. Auch das sie
> linear unabhaengig sind.
Da muss ich ja nur zeigen, dass die Elemente der Basis linear unabhöngig sind und alle Elemente von [mm] \IZ^{n} [/mm] erzeugen.
also so?:
(i) 0= [mm] \lambda_{1}*(1,0,...,0)+ \lambda_{2}*(0,1,0,...,0)+...+ \lambda_{n}*(0,...,1)
[/mm]
0= [mm] (\lambda_{1},0,...,0)+(0,\lambda_{2},0,...,0)+...+(0,...,\lambda_{n})
[/mm]
0= [mm] (\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] alle [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, [mm] \lambda_{i} \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Basiselemente sind linear unabhängig
(ii) Basis ist Erzeugendensystem:
[mm] (z_{1},...,z_{n})= \lambda_{1}*(1,0,...,0)+ \lambda_{2}*(0,1,0,...,0)+...+ \lambda_{n}*(0,...,1)
[/mm]
[mm] (z_{1},...,z_{n})= (\lambda_{1},0,...,0)+(0,\lambda_{2},0,...,0)+...+(0,...,\lambda_{n})
[/mm]
[mm] (z_{1},...,z_{n})= (\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{i} [/mm] = [mm] \lambda_{i} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, [mm] z_{i} \in \IZ, \lambda_{i} \in \IZ
[/mm]
oder wie ist das mit dem Erzeugendensystem? Weil eigentlich ist doch [mm] \lambda_{i} \in \IR [/mm] oder?
> > zu Aufgabe 2:
> > Reicht es, wenn ich ein Gitter zeichne und man sieht,
> dass
> > alle Gitterpunkte von [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] auch in dem Gitter von
> > [mm]\IZ^{2}[/mm] liegen oder muss ich dann noch explizit die
> > Untermoduleigenschaften beweisen, wenn ich doch weiß, dass
> > [mm]\IZ^{2}[/mm] ein [mm]\IZ[/mm] - Modul ist, da ich das allgemeine dafür
> > ja vorher nachgewiesen habe?
>
> Es wurde nicht gesagt, dass du zeigen sollst, das es ein
> Untermodul ist. Theoretisch musst du aber noch die
> Untermoduleigenschaften zeigen, wenn du behauptest, dass es
> ein Untermodul ist.
>
> LG Felix
>
So dann mach ich das hier auch noch gleich, damit ich weiß, ob ich das alles richtig verstanden habe :)
Also Untermoduleigenschaften sind ja (i) [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] ist Untergruppe von [mm] (\IZ^{2},+) [/mm] (schreibt man das so?)
und (ii) [mm] \forall [/mm] (2m,3n) [mm] \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] , [mm] (z_{1},z_{2}) \in \IZ^{2} [/mm] : [mm] (2m,3n)*(z_{1},z_{2}) \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ
[/mm]
also zu (i)
1.)(2m,3n), [mm] (2x,3y)\in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] , [mm] \forall [/mm] m,n,x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
(2m,3n)+(2x,3y) = (2m+2x, 3n+3y) = [mm] \underbrace{(2*( \underbrace{m+x}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n+y}_{\in \IZ})}_{\in 2\IZ x 3\IZ}
[/mm]
2.) (2m,3n) [mm] \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ \Rightarrow [/mm] -(2m,3n) [mm] \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ
[/mm]
denn (2m,3n)+ -(2m,3n) = (2m-2m,3n-3n) = (0,0) (ist neutrales Element der Addition)
3.) (2m,3n), (2x,3y) [mm] \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ \Rightarrow [/mm] (2m,3n)+ -(2x,3y) [mm] \in 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ
[/mm]
denn (2m,3n)+ -(2x,3y) = (2m-2x,3n-3y) = [mm] \underbrace{(2*(\underbrace{m-x}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n-y}_{\in \IZ})}_{\in 2\IZ x 3\IZ}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] Untergruppe von [mm] (\IZ^{2},+)
[/mm]
(ii) [mm] (2m,3n)*(z_{1},z_{2}) [/mm] = [mm] \underbrace{(2*(\underbrace{m*z_{1}}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n*z_{2}}_{\in \IZ}))}_{\in 2\IZ x 3\IZ}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\IZ [/mm] x [mm] 3\IZ [/mm] Untermodul von [mm] \IZ^{2}
[/mm]
richtig?
Ich weiß, das ist ganz schön viel auf einmal, aber ich muss ein Vortrag über Moduln halten und will nur sicher gehen, dass ich das alles verstanden und richtig bewiesen hab, weil ich ne Note dafür bekomme :)
Also Dankeschonmal :)
Ganz liebe Grüße
Tina
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 18.10.2009 | | Autor: | anti_88 |
| Aufgabe | Seien R [mm] \subseteq R_{1} \subseteq R_{2} [/mm] Integritätsbereiche.
Sei { [mm] {a_{1},...,a_{n}} [/mm] } Erzeugendensystem des R-Moduls [mm] R_{1}.
[/mm]
Sei { [mm] {b_{1},...,b_{m}} [/mm] } EZS des [mm] R_{1} [/mm] Moduls [mm] R_{2}.
[/mm]
Dann ist { [mm] {a_{i}b_{j} | 1\le i \le n, 1 \le j \le m} [/mm] } EZS des R-Moduls [mm] R_{2}. [/mm] |
Das ist die letzte Aufgabe, die ich dazu noch erklären muss.
Ich versteh nur nicht ganz, warum die Integritätsbereiche nun Moduln sind, müsste auf ihnen nicht noch ein äußeres Produkt definiert sein, damit es Moduln sind?
Da Integritätsbereiche ja nullteilerfreie, kommutative Ringe sind, sind ja fast alle Eigenschaften für ein Modul erfüllt (Assoziativität, Distributivität, (R,+,*) ist Ring und damit (R,+) abelsche Gruppe)
Aber es fehlt doch die Definition des äußeren Produktes oder nicht?
und zwar
R x [mm] R_{1} \to R_{1} [/mm] mit (s,t) [mm] \mapsto [/mm] s*t (s [mm] \in [/mm] R, t [mm] \in R_{1})
[/mm]
oder ist die durch irgendwelche Eigenschaften schon automatisch in den Integriätsbereichen inbegriffen?
Der Beweis ist sonst eigentlich klar:
Jedes x [mm] \in R_{2} [/mm] kann dargestellt werden durch: x= [mm] \lambda_{1}*b_{1}+ [/mm] ... + [mm] \lambda_{m}*b_{m}. [/mm] Wobei jedes [mm] \lambda_{i} \in [/mm] R1, also darstellbar durch: [mm] \lambda_{i}= \mu_{1}*a_{1}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n}.
[/mm]
Wenn man nun [mm] \lambda_{i} [/mm] in x einsetzt, erhält man eine Linearkombination der [mm] a_{i}*b_{j}:
[/mm]
also x= [mm] (\mu_{1}*a_{1}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n})*b_{1}+ [/mm] ... + [mm] (\mu_{1}*a_{1}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n})*b_{m}
[/mm]
= [mm] (\mu_{1}*a_{1}*b_{1}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n}*b_{1})+ [/mm] ... + [mm] (\mu_{1}*a_{1}*b_{m}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n}*b_{m})
[/mm]
= [mm] (\mu_{1}*a_{1}*b_{1}+\mu_{1}*a_{1}*b_{m}+ [/mm] ... + [mm] \mu_{n}*a_{n}*b_{1})+ \mu_{n}*a_{n}*b_{m})
[/mm]
[mm] =(\mu_{1} *(a_{1}*b_{1}+a_{1}*b_{m} [/mm] )+ ... + [mm] \mu_{n}*(a_{n}*b_{1}+ a_{n}*b_{m}))
[/mm]
Also ist { [mm] {a_{i}b_{j} | 1\le i \le n, 1 \le j \le m} [/mm] } EZS des R-Moduls [mm] R_{2}.
[/mm]
Das wars erstmal an großen Fragen, ich bin super dankbar für jede Antwort :)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Tina!
> Seien R [mm]\subseteq R_{1} \subseteq R_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Integritätsbereiche.
> Sei { [mm]{a_{1},...,a_{n}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} Erzeugendensystem des R-Moduls
> [mm]R_{1}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei { [mm]{b_{1},...,b_{m}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} EZS des [mm]R_{1}[/mm] Moduls [mm]R_{2}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Dann ist { [mm]{a_{i}b_{j} | 1\le i \le n, 1 \le j \le m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> EZS des R-Moduls [mm]R_{2}.[/mm]
>
> Das ist die letzte Aufgabe, die ich dazu noch erklären
> muss.
>
> Ich versteh nur nicht ganz, warum die Integritätsbereiche
> nun Moduln sind, müsste auf ihnen nicht noch ein äußeres
> Produkt definiert sein, damit es Moduln sind?
Wenn du Ringe $R$ und $S$ hast und $R$ ein Unterring von $S$ ist, dann ist $S$ auf natuerliche Weise ein $R$-Modul: fuer jedes $r [mm] \in [/mm] R$ und $m [mm] \in [/mm] S$ ist ja $r$ auch ein Element des Ringes $S$, womit die Multiplikation $r [mm] \cdot [/mm] m$ in $S$ definiert ist. Du nimmst also die Multiplikationsabbildung $S [mm] \times [/mm] S [mm] \to [/mm] S$ des Ringes $S$ als Modul-Skalarmultiplikation, indem du das erste Argument auf Elemnente aus $R$ einschraenkst!
(Dass dies wirklich eine $R$-Modul-Struktur auf $S$ gibt rechnest du einfach nach.)
Und genauso sieht man halt, dass [mm] $R_1$ [/mm] dann ein $R$-Untermodul von [mm] $R_2$ [/mm] ist, wenn du [mm] $R_1$ [/mm] und [mm] $R_2$ [/mm] als $R$-Moduln auffasst.
> Da Integritätsbereiche ja nullteilerfreie, kommutative
> Ringe sind, sind ja fast alle Eigenschaften für ein Modul
> erfüllt (Assoziativität, Distributivität, (R,+,*) ist
> Ring und damit (R,+) abelsche Gruppe)
>
> Aber es fehlt doch die Definition des äußeren Produktes
> oder nicht?
> und zwar
> R x [mm]R_{1} \to R_{1}[/mm] mit (s,t) [mm]\mapsto[/mm] s*t (s [mm]\in[/mm] R, t [mm]\in R_{1})[/mm]
Genau.
> oder ist die durch irgendwelche Eigenschaften schon
> automatisch in den Integriätsbereichen inbegriffen?
Sozusagen durch deren Multiplikation  Wobei man das natuerlich auch anders definieren kann, aber das ist die "kanonische" Art aus einer Ringerweiterung einen Modul zu erhalten. (Und das ist die hier gemeinte Art.)
> Der Beweis ist sonst eigentlich klar:
>
> Jedes x [mm]\in R_{2}[/mm] kann dargestellt werden durch: x=
> [mm]\lambda_{1}*b_{1}+[/mm] ... + [mm]\lambda_{m}*b_{m}.[/mm] Wobei jedes
> [mm]\lambda_{i} \in[/mm] R1, also darstellbar durch: [mm]\lambda_{i}= \mu_{1}*a_{1}+[/mm]
> ... + [mm]\mu_{n}*a_{n}.[/mm]
Du solltest in die [mm] $\mu_j$ [/mm] noch den Index $i$ aufnehmen, also [mm] $\lambda_i [/mm] = [mm] \mu_{i,1} a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \mu_{i,n} a_n$ [/mm] mit $i [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$. [/mm] Ansonsten geht das naemlich meistens nicht.
> Wenn man nun [mm]\lambda_{i}[/mm] in x einsetzt, erhält man eine
> Linearkombination der [mm]a_{i}*b_{j}:[/mm]
>
> also x= [mm](\mu_{1}*a_{1}+[/mm] ... + [mm]\mu_{n}*a_{n})*b_{1}+[/mm] ... +
> [mm](\mu_{1}*a_{1}+[/mm] ... + [mm]\mu_{n}*a_{n})*b_{m}[/mm]
> = [mm](\mu_{1}*a_{1}*b_{1}+[/mm] ... + [mm]\mu_{n}*a_{n}*b_{1})+[/mm] ... +
> [mm](\mu_{1}*a_{1}*b_{m}+[/mm] ... + [mm]\mu_{n}*a_{n}*b_{m})[/mm]
> = [mm](\mu_{1}*a_{1}*b_{1}+\mu_{1}*a_{1}*b_{m}+[/mm] ... +
> [mm]\mu_{n}*a_{n}*b_{1})+ \mu_{n}*a_{n}*b_{m})[/mm]
> [mm]=(\mu_{1} *(a_{1}*b_{1}+a_{1}*b_{m}[/mm]
> )+ ... + [mm]\mu_{n}*(a_{n}*b_{1}+ a_{n}*b_{m}))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bis auf die fehlenden Indices, der felhenden Auslassungspunkte (z.B. sollte $a_1 b_1 + a_1 b_m$ besser $a_1 b_1 + \dots + a_1 b_m$ lauten), und damit der Moeglichkeiten was zusammenzufassen, ja :)
> Also ist { [mm]{a_{i}b_{j} | 1\le i \le n, 1 \le j \le m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> EZS des R-Moduls [mm]R_{2}.[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Tina!
> Also dass jede abelsche Gruppe ein [mm]\IZ-Modul[/mm] ist glaub ich
> meine nächste Aufgabe, die ich zeigen muss :)
Ok :)
> Ich hätte das jetzt so gemacht.
>
> Man braucht ja eine Abbildung [mm]\IZ[/mm] x G [mm]\to[/mm] G mit
> [mm](z,g)\mapsto\begin{cases} g+...+g, & \mbox{für } z>0 \\ 0, & \mbox{für } z=0 \\ -(g+...+g), & \mbox{für} z<0 \end{cases}[/mm]
> wobei g+...+g die z-fache Addition von g bedeutet und (G,+)
> abelsche Gruppe und [mm](\IZ,+,*)[/mm] Ring ist.
>
> Dann wird G zu einem [mm]\IZ-Modul.[/mm]
>
> Ja und mein Beweis ist jetzt glaub ich ein wenig
> merkwürdig, aber ich schreib ihn mal auf:
>
> Da die z-fache Addition von g ja äquivalent ist mit z*g,
> ist die Abbildung ja eigentlich [mm](z,g)\mapsto[/mm] z*g.
Ja. Habt ihr denn "Rechenregeln" fuer $z * g$ gezeigt? Diese "Rechenregeln" sind genau das, was du zeigen musst:
> Und nun die drei Moduleigenschaften nachweisen:
> (i) [mm](z_{1}+z_{2})*g[/mm] = [mm]\underbrace{g+...+g}_{z_{1}+z_{2} -mal}[/mm]
> = [mm]\underbrace{g+...+g}_{z_{1} -mal}[/mm] +
> [mm]\underbrace{g+...+g}_{z_{2} -mal}[/mm] = [mm]z_{1}*g[/mm] + [mm]z_{2}*g[/mm]
Hier musst du z.B. aufpassen, wann [mm] $z_1 [/mm] + [mm] z_2$, $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] positiv, negativ bzw. 0 sind. Also eigentlich ein Haufen (nerviger) Fallunterscheidungen.
> (ii) [mm]z*(g_{1}+g_{2})[/mm] =
> [mm]\underbrace{(g_{1}+g_{2})+...+(g_{1}+g_{2})}_{z -mal}[/mm] =
> [mm]\underbrace{g_{1}+...+g_{1}}_{z -mal}[/mm] +
> [mm]\underbrace{g_{2}+...+g_{2}}_{z -mal}[/mm] = [mm]z*g_{1}[/mm] + [mm]z*g_{2}[/mm]
>
> (iii) [mm](z_{1}*z_{2})*g[/mm] = [mm]\underbrace{g+...+g}_{z_{1}*z_{2} -mal}[/mm]
> = [mm]\underbrace{z_{2}*g+...+z_{2}*g}_{z_{1} -mal}[/mm] =
> [mm]z_{1}*(z_{2}*g)[/mm]
>
> (i),(ii),(iii), [mm]\forall[/mm] z, [mm]z_{1}, z_{2} \in \IZ[/mm] , g, [mm]g_{1}, g_{2} \in[/mm]
> G
Du solltest vorher (nicht nachher!) schreiben: seien $z, [mm] z_1, z_2 \in \IZ$, [/mm] $g, [mm] g_1, g_2 \in [/mm] G$.
> Kann man das so beweisen? Kommt mir irgendwie komisch vor.
Strenggenommen brauchst du Fallunterscheidungen.
> > > Und die Basis ist {(1,0,...,0),..., (0,...,1)}, weil ich
> > > mit der Linearkombination dieser Elemente alle Elemente in
> > > [mm]\IZ^{n}[/mm] darstellen kann oder? Muss ich das auch noch
> > > beweisen?
> >
> > Ja, das ist so, und ja, das musst du beweisen. Auch das sie
> > linear unabhaengig sind.
>
> Da muss ich ja nur zeigen, dass die Elemente der Basis
> linear unabhöngig sind und alle Elemente von [mm]\IZ^{n}[/mm]
> erzeugen.
>
> also so?:
>
> (i) 0= [mm]\lambda_{1}*(1,0,...,0)+ \lambda_{2}*(0,1,0,...,0)+...+ \lambda_{n}*(0,...,1)[/mm]
>
> 0=
> [mm](\lambda_{1},0,...,0)+(0,\lambda_{2},0,...,0)+...+(0,...,\lambda_{n})[/mm]
> 0= [mm](\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] alle [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,...,n},
> [mm]\lambda_{i} \in \IR[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Basiselemente sind linear
> unabhängig
Ja.
> (ii) Basis ist Erzeugendensystem:
> [mm](z_{1},...,z_{n})= \lambda_{1}*(1,0,...,0)+ \lambda_{2}*(0,1,0,...,0)+...+ \lambda_{n}*(0,...,1)[/mm]
>
> [mm](z_{1},...,z_{n})= (\lambda_{1},0,...,0)+(0,\lambda_{2},0,...,0)+...+(0,...,\lambda_{n})[/mm]
>
> [mm](z_{1},...,z_{n})= (\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_{i}[/mm] = [mm]\lambda_{i} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,...,n},
> [mm]z_{i} \in \IZ, \lambda_{i} \in \IZ[/mm]
So leitest du dir das her, aber so solltest du es nicht aufschreiben: schreibe einfach [mm] $(z_1, \dots, z_n) [/mm] = [mm] (z_1, [/mm] 0, [mm] \dots, [/mm] 0) + (0, [mm] z_2, [/mm] 0, [mm] \dots, [/mm] 0) + [mm] \dots [/mm] + (0, [mm] \dots, [/mm] 0, [mm] z_n) [/mm] = [mm] z_1 [/mm] (1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0) + [mm] \dots [/mm] + [mm] z_n [/mm] (0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1)$.
> oder wie ist das mit dem Erzeugendensystem? Weil eigentlich
> ist doch [mm]\lambda_{i} \in \IR[/mm] oder?
Wieso sollte [mm] $\lambda_i \in \IR$ [/mm] sein?!?!? Das sind Elemente aus dem Ring!
> > > zu Aufgabe 2:
> > > Reicht es, wenn ich ein Gitter zeichne und man
> sieht,
> > dass
> > > alle Gitterpunkte von [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] auch in dem Gitter von
> > > [mm]\IZ^{2}[/mm] liegen oder muss ich dann noch explizit die
> > > Untermoduleigenschaften beweisen, wenn ich doch weiß, dass
> > > [mm]\IZ^{2}[/mm] ein [mm]\IZ[/mm] - Modul ist, da ich das allgemeine dafür
> > > ja vorher nachgewiesen habe?
> >
> > Es wurde nicht gesagt, dass du zeigen sollst, das es ein
> > Untermodul ist. Theoretisch musst du aber noch die
> > Untermoduleigenschaften zeigen, wenn du behauptest, dass es
> > ein Untermodul ist.
>
> So dann mach ich das hier auch noch gleich, damit ich
> weiß, ob ich das alles richtig verstanden habe :)
>
> Also Untermoduleigenschaften sind ja (i) [mm]2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] ist
> Untergruppe von [mm](\IZ^{2},+)[/mm] (schreibt man das so?)
> und (ii) [mm]\forall[/mm] (2m,3n) [mm]\in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] , [mm](z_{1},z_{2}) \in \IZ^{2}[/mm]
> : [mm](2m,3n)*(z_{1},z_{2}) \in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm]
>
> also zu (i)
> 1.)(2m,3n), [mm](2x,3y)\in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] , [mm]\forall[/mm] m,n,x,y [mm]\in \IZ[/mm]
>
> (2m,3n)+(2x,3y) = (2m+2x, 3n+3y) = [mm]\underbrace{(2*( \underbrace{m+x}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n+y}_{\in \IZ})}_{\in 2\IZ x 3\IZ}[/mm]
>
> 2.) (2m,3n) [mm]\in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ \Rightarrow[/mm] -(2m,3n) [mm]\in 2\IZ[/mm] x
> [mm]3\IZ[/mm]
> denn (2m,3n)+ -(2m,3n) = (2m-2m,3n-3n) = (0,0) (ist
> neutrales Element der Addition)
>
> 3.) (2m,3n), (2x,3y) [mm]\in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ \Rightarrow[/mm] (2m,3n)+
> -(2x,3y) [mm]\in 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm]
> denn (2m,3n)+ -(2x,3y) = (2m-2x,3n-3y) =
> [mm]\underbrace{(2*(\underbrace{m-x}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n-y}_{\in \IZ})}_{\in 2\IZ x 3\IZ}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] Untergruppe von [mm](\IZ^{2},+)[/mm]
Du kannst es natuerlich so rechnen, aber eventuell hattet ihr auch die Aussage "$A [mm] \subseteq [/mm] B$, $A' [mm] \subseteq [/mm] B'$ Untergruppen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \times [/mm] A' [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \times [/mm] B'$ Untergruppe": daraus folgt das sofort.
> (ii) [mm](2m,3n)*(z_{1},z_{2})[/mm] =
> [mm]\underbrace{(2*(\underbrace{m*z_{1}}_{\in \IZ}), 3*(\underbrace{n*z_{2}}_{\in \IZ}))}_{\in 2\IZ x 3\IZ}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2\IZ[/mm] x [mm]3\IZ[/mm] Untermodul von [mm]\IZ^{2}[/mm]
>
> richtig?
Ja.
> Ich weiß, das ist ganz schön viel auf einmal, aber ich
> muss ein Vortrag über Moduln halten und will nur sicher
> gehen, dass ich das alles verstanden und richtig bewiesen
> hab, weil ich ne Note dafür bekomme :)
Ok :)
> Also Dankeschonmal :)
Bitte!
LG Felix
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