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Forum "Sonstiges" - Modulo Gesetze
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Modulo Gesetze: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Di 04.11.2014
Autor: Freddywillswissen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Forum. Ich bräuchte Gesetzte für Modulo doch mir fallen keine ein. Was muss man denn dabei beachten außer das die beiden Zahlen z.B a und  b durch modulo m den gleichen Rest hinterlassen ? Danke für eure Hilfe.

        
Bezug
Modulo Gesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 Di 04.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo liebes Forum. Ich bräuchte Gesetzte für Modulo
> doch mir fallen keine ein. Was muss man denn dabei beachten
> außer das die beiden Zahlen z.B a und  b durch modulo m
> den gleichen Rest hinterlassen ? Danke für eure Hilfe.  

das kannst Du in einigen Büchern nachlesen ("Elementare und algebraische
Zahlentheorie von Müller-Stach, Piontkowski bspw."):

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \mid [/mm] (b-a)$ [mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \mid (a-b)\,.$ [/mm]

Gilt $m [mm] \mid n\,,$ [/mm] so folgt

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod \red{\,m}\,.$ [/mm]

Auch gilt sowas wie

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ und $c [mm] \equiv [/mm] d [mm] \mod [/mm] n$

    [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a*c [mm] \equiv [/mm] b*d [mm] \mod [/mm] n$ und $a+c [mm] \equiv [/mm] b+d [mm] \mod n\,.$ [/mm]

Oder

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\iff$ [/mm] $ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod mn\,.$ [/mm]

Und das sind nur die elementarsten Gesetze. Bspw. gilt auch

    $ma [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$ [/mm]

    [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,,$ [/mm]

oder

    $ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$ [/mm]

    [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod n\,.$ [/mm]

Die letzten beiden Aussagen sin übrigens äquivalent: Setzt man in der unteren
speziell [mm] $b=0\,,$ [/mm] so folgt die obere.

Nun gelte *duchweg*

    $ma' [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$ $\Rightarrow$ [/mm] $a' [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,.$ [/mm]

Hat man

    $ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1\,,$ [/mm]

so schreibe man dies äquivalent um zu

    $m(a-b) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,.$ ($\ggT(m,n)=1$ [/mm] gilt weiterhin, werde aber nicht immer erwähnt,
aus Faulheitsgründen meinerseits!)

Mit $a':=a-b$ folgt nach Voraussetzung

    $a'=a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,,$ [/mm]

also

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod n\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel    

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