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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Di 28.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Finden Sie alle $ [mm] x\in\IZ_{6}, [/mm] $ die die Gleichung lösen:
a) 5x=2 (mod 12)
b) 3x=6 (mod 11) |
Hallo,
Für diese Aufgabe kann man ja folgenden Satz verwenden:
Wenn a und m teilerfremd sind, dann besitzt a*x=b (mod m) genau eine Lösung in [mm] \IZ_{m} [/mm] (und unendlich viele dazu kongruente Lösungen). Man erhält sie, indem man beide Seiten der Kongruenzgleichung mit dem multiplikativen Inversen [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
von a in [mm] \IZ_{m} [/mm] multipliziert:
[mm] x=\bruch{1}{a}*b [/mm] (mod m).
a)
multiplikative Inverse ist [mm] \bruch{1}{a}=5
[/mm]
In obige Formel einsetzen:
x=5*2 (mod 12) = 10 (mod 12)
Ergebnis stimmt laut Buch. Hier ist alles klar.
b)
multiplikative Inverse ist [mm] \bruch{1}{a}=4
[/mm]
In obige Formel einsetzen:
x=4*6 (mod 11) = 24 (mod 11)
Dies ist aber falsch, denn die Lösung ist laut Buch:
x=2 (mod 11)
Wie kommt man darauf? Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo Jack,
Du hast gar nichts falsch gemacht.
> b)
> multiplikative Inverse ist [mm]\bruch{1}{a}=4[/mm]
>
> In obige Formel einsetzen:
> x=4*6 (mod 11) = 24 (mod 11)
>
> Dies ist aber falsch,
Nein, ist es nicht. Das ist auch eine Lösung.
> denn die Lösung ist laut Buch:
> x=2 (mod 11)
Allerdings gibt man sie üblicherweise so an wie hier, nämlich mit einer Restklasse [mm] 0\le r\le{m-1}.
[/mm]
Auch [mm] x\equiv 5343131873\mod{11} [/mm] wäre eine richtige Lösung, nur dass man der nun wirklich nicht mehr ansieht, dass sie die gleiche Restklasse repräsentiert.
Trotzdem schreibt man [mm] 5343131873\equiv 24\equiv 2\mod{11}, [/mm] was nur heißt: alle drei Zahlen lassen bei Teilung durch 11 den gleichen Rest.
Wenn dieser Rest R aber wie oben gesagt zwischen Null und m-1 liegt sieht, sieht man sofort, dass man keinen kleineren positiven Rest finden kann, der die gleiche Restklasse repräsentiert.
Man verwendet darum übrigens auch kein Gleichheitszeichen, sondern das Äquivalenzzeichen [mm] \equiv. [/mm] In LaTeX (und damit auch hier) schreibt man es \equiv.
Grüße
reverend
> Wie kommt man darauf? Was habe ich falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Di 28.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo reverend,
Vielen dank ;)
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