Modulo mit Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 19.05.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Es sei p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4) eine Primzahl und es seien [mm] V:=\produkt_{1\le m \le \bruch{p-1}{2}}^{} [/mm] und [mm] W:=\produkt_{\bruch{p-1}{2} < m \le p-1}^{}
[/mm]
a) Zeigen Sie V [mm] \equiv [/mm] W (mod p)
b) [mm] V^2 \equiv [/mm] -1 (mod p) |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Voraussetzung, dass p kongruent 4 modulo m ist, mit einfließen lassen soll. Ich tue mich allgemein noch sehr schwer mit kongruenzen... Kann man diese Voraussetzung irgendwie einsetzen oder wie geht man bei einer solchen Aufgabe am besten vor? Bin für jede Hilfe dankbar!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 19.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei p [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4) eine Primzahl und es seien
> [mm]V:=\produkt_{1\le m \le \bruch{p-1}{2}}^{}[/mm] und
> [mm]W:=\produkt_{\bruch{p-1}{2} < m \le p-1}^{}[/mm]
Hinter den Produktzeichen soll jeweils ein $m$ stehen, oder?
> a) Zeigen Sie V [mm]\equiv[/mm] W (mod p)
> b) [mm]V^2 \equiv[/mm] -1 (mod p)
>
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Voraussetzung,
> dass p kongruent 4 modulo m ist, mit einfließen lassen
> soll. Ich tue mich allgemein noch sehr schwer mit
> kongruenzen... Kann man diese Voraussetzung irgendwie
> einsetzen oder wie geht man bei einer solchen Aufgabe am
> besten vor? Bin für jede Hilfe dankbar!
Probier das ganze doch erstmal fuer $p = 5$; das ist die kleinste Primzahl, die kongruent zu 1 modulo 4 ist.
Beachte, dass $p - 1 [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{p}$, [/mm] $p - 2 [mm] \equiv [/mm] -2 [mm] \pmod{p}$, [/mm] ... ist. Du wirst sehen: $W = [mm] (-1)^2 [/mm] V = V$ (fuer $p = 5$; allgemein ist $W = [mm] (-1)^{(p - 1)/2} [/mm] V$ -- hier brauchst du dann die Voraussetzung).
Damit solltest du a) hinbekommen. Fuer b) beachte, dass das Produkt ueber alle Elemente in [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] gleich -1 ist (Satz von Wilson).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 19.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es sei p [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4) eine Primzahl und es seien
> [mm]V:=\produkt_{1\le m \le \bruch{p-1}{2}}^{}[/mm] und
> [mm]W:=\produkt_{\bruch{p-1}{2} < m \le p-1}^{}[/mm]
Soll es [mm]V:=\produkt_{1\le m \le \bruch{p-1}{2}}^{} m[/mm] und [mm]W:=\produkt_{\bruch{p-1}{2} < m \le p-1}^{} m[/mm] heißen?
>
> a) Zeigen Sie V [mm]\equiv[/mm] W (mod p)
> b) [mm]V^2 \equiv[/mm] -1 (mod p)
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Voraussetzung,
> dass p kongruent 4 modulo m ist, mit einfließen lassen
> soll. Ich tue mich allgemein noch sehr schwer mit
> kongruenzen... Kann man diese Voraussetzung irgendwie
> einsetzen oder wie geht man bei einer solchen Aufgabe am
> besten vor? Bin für jede Hilfe dankbar!
Da p [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4), ist [mm] $\bruch{p-1}{2}$ [/mm] eine gerade Zahl.
Gruß
meili
|
|
|
|
