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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | 1. Lösen Sie die folgende Gleichung in [mm] \IZ /5\IZ
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] + [mm] \overline{3}x [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{0}.
[/mm]
2. Berechnen Sie [mm] (\overline{5})^i [/mm] in [mm] \IZ /13\IZ [/mm] für alle i [mm] \in \IZ.
[/mm]
3. Zeigen Sie : Für alle n [mm] \in \IN,
[/mm]
3 | n [mm] \gdw [/mm] Die Quersumme von n ist durch 3 teilbar.
4. Gibt es ein Kriterium analog zu dem in der Frage 3 für 11 ?
Ist 123456789987654321123456789987654321123456789987654321 durch 11 teilbar ?
Begründen Sie Ihre Antworten. |
Hallo,
zu 1. ich hab keine ahnung wie man mit soetwas rechnet.
zu 2: man fängt bei i=1 an und irgendwann wiederholt es sich? - hoffe ich.
zu 3: wie zeigt man so etwas, Induktion? wenn ja, wie sähe der Induktionsschritt aus?
zu 4: Beweis wie in 3. Kriterium existiert (Wikipedia) die nicht-alternierende 2-er Quersumme (in zweierblöcken von hinten addiert) ist durch 11 telbar, [mm] \gdw [/mm] die zahl wird von 11 geteilt
die gegebene Zahl ist durch 11 teilbar.
Währe lieb wenn euch insbesondere zu dem Beweis (3.) und zu der rechnung (1.) etwas einfallen würde.
gegenüber tipps zu allem, bin ich nicht abgeneigt.
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 So 15.04.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo Christoph!
> 1. Lösen Sie die folgende Gleichung in [mm]\IZ /5\IZ[/mm]
> [mm]x^3[/mm] +
> [mm]\overline{3}x[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] = [mm]\overline{0}.[/mm]
> 2. Berechnen Sie [mm](\overline{5})^i[/mm] in [mm]\IZ /13\IZ[/mm] für alle i
> [mm]\in \IZ.[/mm]
> 3. Zeigen Sie : Für alle n [mm]\in \IN,[/mm]
> 3 | n [mm]\gdw[/mm]
> Die Quersumme von n ist durch 3 teilbar.
> 4. Gibt es ein Kriterium analog zu dem in der Frage 3 für
> 11 ?
> Ist 123456789987654321123456789987654321123456789987654321
> durch 11 teilbar ?
> Begründen Sie Ihre Antworten.
> Hallo,
>
> zu 1. ich hab keine ahnung wie man mit soetwas rechnet.
>
> zu 2: man fängt bei i=1 an und irgendwann wiederholt es
> sich? - hoffe ich.
>
> zu 3: wie zeigt man so etwas, Induktion? wenn ja, wie sähe
> der Induktionsschritt aus?
>
> zu 4: Beweis wie in 3. Kriterium existiert (Wikipedia) die
> nicht-alternierende 2-er Quersumme (in zweierblöcken von
> hinten addiert) ist durch 11 telbar, [mm]\gdw[/mm] die zahl wird von
> 11 geteilt
>
> die gegebene Zahl ist durch 11 teilbar.
>
fangen wir mal mit Teil 1 an: in [mm] $\IZ [/mm] / 5 [mm] \IZ$ [/mm] gibt es genau 5 Elemente, nämlich [mm] $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}$.
[/mm]
Du kannst also nur die 5 Elemente einsetzen und die Nullstellen bestimmen. Am Besten du rechnest erstmal in [mm] $\IZ$ [/mm] alls und ermittelst dann das Ergebnis, indem du modulo rechnest:
Z.B. nehme ich [mm] $\overline{2}$:
[/mm]
[mm] $2^3 [/mm] + 3*2+1 = 8+6+1=15 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5$
Also ist [mm] $f(\overline{2})= \overline{0}$. [/mm] Und so probierste alles durch und ermittelst so die Werte.
2. Berechne hier mal die ersten 6 Werte mal die ersten 6 Werte für i so wie bei 1. indem du erst in [mm] $\IZ$ [/mm] und danach modulo rechnest und dann versuche mal eine Vorschrift herauszufinden.
Für die anderen Aufgaben kann ja mal jemand anderes was schreiben!
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 17.04.2007 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
Du kannst einfach Deine Zahl als endliche Summe von 10er-Potenzen mit Vorfaktoren schreiben, also z.B.
n = [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} 10^i
[/mm]
wobei die [mm] a_{i} [/mm] natürlich nur zwischen 0 und 9 liegen dürfen, also quasi die Darstellung im Dezimalsystem.
Da aber jede 10er Potenz den Rest 1 mod 3 läßt, kann ich diese einfach weglassen (bitte etwas ausführlicher schreiben), da sie den Rest mod 3 nicht verändern (Rest eines Produktes = Produkt der Reste).
Genau so geht das mit der teilbarkeitsregel für 11, allerdings sind da die Reste der 10er Potenzen abwechselnd 1 und -1.
Liebe Grüße,
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Mi 18.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen dank, jetzt hab ichs verstanden.
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