Möbius Transformation < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 So 24.02.2008 | | Autor: | TRANSLTR |
| Aufgabe | Sei [mm] M_{1} [/mm] = {z [mm] \in \IC: [/mm] |z| < 1} die offene Kreisscheibe und [mm] M_{2} [/mm] = {z [mm] \in \IC: [/mm] Im(z) > 0} die obere Halbebene. Betrachte die Funktion
f: [mm] M_{1} [/mm] -> [mm] M_{2}, [/mm] f(z) = i [mm] \bruch{1 + z}{1 - z}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f bijektiv ist.
b) Bestimmen Sie eine Formel für die inverse Funktion [mm] f^{-1}: M_{2} [/mm] -> [mm] M_{1} [/mm] |
Zu a)
Bijektiv heisst die Funktion ist surjektiv (der ganze Bildbereich der oberenen Halbebene wird ausgenutzt) und injektiv (jeder Wert x wird auf ein eindeutiges f(x) abgebildet).
Ich habe mir gedacht, dass man die Surjektivität bestätigen kann, indem man Im(z) > 0 & Re(z) > 0 beweist.
i [mm] \bruch{1 + z}{1 - z} [/mm] = [mm] \bruch{i(x + iy) + i}{1 - (x + iy)} [/mm] = [mm] \bruch{ix - y^{2} + i}{(1 - x) - iy)}.
[/mm]
Jetzt konjugiert erweitern (-> 3. Binom)
[mm] \bruch{(ix - y^{2} + i) (1 - x + iy)}{(1 - x)^{2} + y^{2})}
[/mm]
= [mm] \bruch{-xy - y^{2} + xy^{2} - y)}{(1 - x)^{2} + y^{2})} [/mm] + i [mm] \bruch{-x^{2} - y^{3} + 1}{(1 - x)^{2} + y^{2})}.
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter..ich versteh' nicht wie jetzt der Real- und Imaginärteil > 0 sind...
Wie beweist man denn die Injektivität??
Zu b)
Kann man die Umkehrfunktion berechnen, indem man f(z) = Bild = b setzt und auf z auflöst? Konkret wäre das:
b = [mm] \bruch{iz + i}{1 - z} [/mm] || * (1 - z)
b - bz = iz + i
z(i + b) = b - i
z = [mm] \bruch{b - i}{i + b}. [/mm] Stimmt das denn?
Ich freue mich auf eure Lösungsvorschläge...
|
|
| |
|
> Sei [mm]M_{1} = \{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] die offene Kreisscheibe
> und [mm]M_{2} = \{z \in \IC: Im(z) > 0\}[/mm] die obere Halbebene.
> Betrachte die Funktion
> [mm]f: M_{1} \rightarrow M_{2}, f(z) = i \bruch{1 + z}{1 - z}[/mm]
> a)
> Zeigen Sie, dass die Funktion f bijektiv ist.
> b) Bestimmen Sie eine Formel für die inverse Funktion
> [mm]f^{-1}: M_{2}[/mm] -> [mm]M_{1}[/mm]
> Zu a)
> Bijektiv heisst die Funktion ist surjektiv (der ganze
> Bildbereich der oberenen Halbebene wird ausgenutzt) und
> injektiv (jeder Wert x wird auf ein eindeutiges f(x)
> abgebildet).
> Ich habe mir gedacht, dass man die Surjektivität
> bestätigen kann, indem man Im(z) > 0 & Re(z) > 0 beweist.
> i [mm]\bruch{1 + z}{1 - z}[/mm] = [mm]\bruch{i(x + iy) + i}{1 - (x + iy)}[/mm]
> = [mm]\bruch{ix - y^{2} + i}{(1 - x) - iy)}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $-y^2$ [/mm] ist falsch: sollte $-y$ sein.
> Jetzt konjugiert
> erweitern (-> 3. Binom)
> [mm]\bruch{(ix - \red{y^{2}} + i) (1 - x + iy)}{(1 - x)^{2} + y^{2})} = \bruch{-xy - y^{2} + xy^{2} - y)}{(1 - x)^{2} + y^{2})}+
i \bruch{-x^{2} - y^{3} + 1}{(1 - x)^{2} + y^{2})}.[/mm]
> Hier
> komme ich nicht weiter..ich versteh' nicht wie jetzt der
> Real- und Imaginärteil > 0 sind...
Du musst nur zeigen, dass der Imaginärteil >0 ist. Dazu musst Du bedenken, dass [mm] $x^2+y^2<1$ [/mm] und $|x|,|y|< 1$ gilt.
>
> Wie beweist man denn die Injektivität??
Z.B. wie in b)...
>
> Zu b)
> Kann man die Umkehrfunktion berechnen, indem man f(z) =
> Bild = b setzt und auf z auflöst? Konkret wäre das:
> b = [mm]\bruch{iz + i}{1 - z}[/mm] || * (1 - z)
> b - bz = iz + i
> z(i + b) = b - i
> z = [mm]\bruch{b - i}{i + b}.[/mm] Stimmt das denn?
ja. und weil nach Teilaufgabe a) der Imaginärteil von $b$ > 0 ist, ist die Division durch $i+b$ auch immer möglich.
|
|
|
|
