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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Für A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in GL_{2}(\IC) [/mm] ist die Möbiustransformation : [mm] f_{A}: [/mm] D [mm] \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \bruch{az+b}{cz+d}, [/mm] wobei
[mm] D=\begin{cases} \IC \backslash \{\bruch{d}{c}\}, & \mbox{für } c \not= 0 \\ \IC, & \mbox{für } c =0 \end{cases}
[/mm]
a) Es sei nun [mm] \overline{\IC} [/mm] := [mm] \IC \cup {\infty}. [/mm] Definiere eine bijektive Abbildung [mm] f_{A}*: \overline{\IC} \to \overline{\IC} [/mm] mit [mm] f_{A}*(z)=f_{A}(z) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D, sodass die Zuordnung [mm] GL_{2} \to Abb(\overline{\IC},\overline{\IC}), [/mm] A [mm] \mapsto f_{A}* [/mm] ein Gruppenhomorphismus ist.
b) Zeige, dass sich [mm] f_{A}* [/mm] aks Komposition spezieller Möbiustransformation der Form [mm] \lambda*, \nu* [/mm] oder [mm] \mu* [/mm] darstellen lässt,wobei
[mm] \lambda [/mm] : [mm] \IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] sz, s [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] \nu: \IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] z+t, t [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] \mu: \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \bruch{1}{z}
[/mm]
so wie in a) zu [mm] \lambda*, \nu* [/mm] und [mm] \mu* [/mm] fortgesetzt werden. |
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Hallo!
Ich hab Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
Bei a) komme ich nicht auf die gesuchte bijektive Abbildung.
Ein Gruppenhomomorphismus bedeutet doch, dass auf der Gruppe die Linearität gilt. Eine Gruppe hat die Assoziativität, ein neutrales Element, und ein inverses Element. Muss eine Gruppe abgeschlossen sein? Bei einer Untergruppe muss die Abgeschlossenheit gelten. Wie ist es bei einer Gruppe?
Wie muss ich bei der a) vorgehen?
b) Die gegebenen Abbildungen sind doch Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen oder? Wie muss die Komposition hier aussehen?
Danke für die Hilfe!
milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Ich hab aus Versehen einen andere Thread zur gleichen Aufgabe geöffnet, wo aber die Aufgabenstellung fehlte. Dies ist das richtige. Das andere kann gelöscht werden 
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 20.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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