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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 01.02.2009 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Unter welchen Bedingungen an a Element C bildet die durch f(z)=[mm]\bruch{z-a}{z+a}[/mm] definietre Möbiustransformation f die rechte Halbebene biholomorph auf den Einheitskreis ab? |
Hallo erstmal,
ich weiß, dass ich mir bei dieser Aufgabe drei Punkte suchen muss und mir anschaue wohin diese Punkte mit der Möbiustransformation abgebildet werden. Ich weiß, dass eine Möbiustransformation folgendermaßen definiert ist: f(z)=[mm]\bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen, wie bei dieser Aufgabe vorgehen muss?
Grüße TTaylor
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Hallo TTaylor,
> Unter welchen Bedingungen an a Element C bildet die durch
> f(z)=[mm]\bruch{z-a}{z+a}[/mm] definierte Möbiustransformation f die
> rechte Halbebene biholomorph auf den Einheitskreis ab ?
Für kein $\ [mm] a\in\IC$ [/mm] !
Gemeint war vermutlich, dass f die rechte Halbebene
auf das Innere des Einheitskreises abbilden soll !
> Hallo erstmal,
>
> ich weiß, dass ich mir bei dieser Aufgabe drei Punkte
> suchen muss und mir anschaue wohin diese Punkte mit der
> Möbiustransformation abgebildet werden. Ich weiß, dass eine
> Möbiustransformation folgendermaßen definiert ist:
> f(z)=[mm]\bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
Die oben angegebene Abbildung f passt natürlich auch
in dieses Muster, hat allerdings nur einen einzigen
Parameter $\ a$ anstatt vier $\ (a,b,c,d)$.
Zuerst kann man sich einmal auf den Rand von
Urbild- und Bildmenge konzentrieren. Der Rand
der rechten Halbebene ist die imaginäre Achse,
der Rand der Bildmenge der Einheitskreis (jetzt
wirklich nur die Kreislinie !). Nun sollte man also
versuchen, $\ a$ so festzulegen, dass die rein imaginären
Zahlen auf komplexe Zahlen vom Betrag 1 abgebildet
werden ...
Tipp: eine rein imaginäre Zahl $\ z$ kann man schreiben
als $\ z=y*i$ (mit [mm] y\in \IR)
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:21 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > ich weiß, dass ich mir bei dieser Aufgabe drei Punkte
> > suchen muss und mir anschaue wohin diese Punkte mit der
> > Möbiustransformation abgebildet werden. Ich weiß, dass eine
> > Möbiustransformation folgendermaßen definiert ist:
> > f(z)=[mm]\bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
>
> Die oben angegebene Abbildung f passt natürlich auch
> in dieses Muster, hat allerdings nur einen einzigen
> Parameter [mm]\ a[/mm] anstatt vier [mm]\ (a,b,c,d)[/mm].
>
> Zuerst kann man sich einmal auf den Rand von
> Urbild- und Bildmenge konzentrieren. Der Rand
> der rechten Halbebene ist die imaginäre Achse,
> der Rand der Bildmenge der Einheitskreis (jetzt
> wirklich nur die Kreislinie !). Nun sollte man also
> versuchen, [mm]\ a[/mm] so festzulegen, dass die rein imaginären
> Zahlen auf komplexe Zahlen vom Betrag 1 abgebildet
> werden ...
> Tipp: eine rein imaginäre Zahl [mm]\ z[/mm] kann man schreiben
> als [mm]\ z=y*i[/mm] (mit [mm]y\in \IR)[/mm]
Es reicht aus, drei Punkte vom Rand zu ueberpruefen (es bieten sich z.B. $-i$, $0$ und $i$ an): wenn diese auf dem Einheitskreis liegen (also die Bilder Betrag 1 haben), dann muss die imaginaere Achse (zusammen mit [mm] $\infty$) [/mm] auf den Einheitskreisrand abgebildet werden.
Um dann zu testen, ob auch die rechte Halbebene in's innere geht, reicht es aus den Punkt $1$ abzubilden: der Betrag vom Bild muss $< 1$ sein.
Man muss natuerlich noch ein klein wenig begruenden warum das alles ausreicht :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 03.02.2009 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank schon mal.
Verstehe ich das richtig. Ich nehme mit drei Punkte v1= i,v2= 0, v3=-i und setzte sie in die Formel:
h(z)= [mm]\bruch{\bruch{z-v1}{z-v3} }{\bruch{v2-v1}{v2-v3}} [/mm]ein dann bekomme ich [mm] \bruch{iz+1}{-iz-1}[/mm]
Aber wie bestimme ich jetzt dieses a von f(z)=[mm]\bruch{z-a}{z+a}[/mm]
ich kapiere es immer noch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal vor , was felixf Dir geraten hat:
f(0) = -1, also |f(0)| = 1 (das ist schon mal gut)
f(i) = [mm] \bruch{i-a}{i+a} [/mm] und f(-i) = [mm] \bruch{-i-a}{-i+a}
[/mm]
Nun gilt (nachrechnen !!) :
$|f(i)| = |f(-i)| = 1 [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in \IR.$
[/mm]
D.h.: ist a [mm] \in \IR [/mm] , so bildet f die imaginäre Achse auf die Einheitskreislinie ab.
Rechne nun nach, dass gilt: $|f(1)| < 1$ [mm] \gdw [/mm] a>0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred
> Ich mach Dir mal vor , was felixf Dir geraten hat:
>
> f(0) = -1, also |f(0)| = 1 (das ist schon mal gut)
>
> f(i) = [mm]\bruch{i-a}{i+a}[/mm] und f(-i) = [mm]\bruch{-i-a}{-i+a}[/mm]
>
> Nun gilt (nachrechnen !!) :
>
> [mm]|f(i)| = |f(-i)| = 1 \gdw a \in \IR.[/mm]
>
> D.h.: ist a [mm]\in \IR[/mm] , so bildet f die imaginäre Achse auf
> die Einheitskreislinie ab.
Den Wert $a = 0$ sollten wir lieber weglassen, in dem Fall ist die Abbildung konstant und insbesondere keine Moebiusabbildung ;)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
> > Ich mach Dir mal vor , was felixf Dir geraten hat:
> >
> > f(0) = -1, also |f(0)| = 1 (das ist schon mal gut)
> >
> > f(i) = [mm]\bruch{i-a}{i+a}[/mm] und f(-i) = [mm]\bruch{-i-a}{-i+a}[/mm]
> >
> > Nun gilt (nachrechnen !!) :
> >
> > [mm]|f(i)| = |f(-i)| = 1 \gdw a \in \IR.[/mm]
> >
> > D.h.: ist a [mm]\in \IR[/mm] , so bildet f die imaginäre Achse auf
> > die Einheitskreislinie ab.
>
> Den Wert [mm]a = 0[/mm] sollten wir lieber weglassen, in dem Fall
> ist die Abbildung konstant und insbesondere keine
> Moebiusabbildung ;)
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Du hast völlig recht
Gruß FRED
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> Unter welchen Bedingungen an a Element C bildet die durch
> f(z)=[mm]\bruch{z-a}{z+a}[/mm] definietre Möbiustransformation f die
> rechte Halbebene biholomorph auf den Einheitskreis ab?
> Hallo erstmal,
>
> ich weiß, dass ich mir bei dieser Aufgabe drei Punkte
> suchen muss und mir anschaue wohin diese Punkte mit der
> Möbiustransformation abgebildet werden. Ich weiß, dass eine
> Möbiustransformation folgendermaßen definiert ist:
> f(z)=[mm]\bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
>
> Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen, wie bei dieser
> Aufgabe vorgehen muss?
>
> Grüße TTaylor
Hallo TTaylor,
bei vielen Aufgaben über komplexe Zahlen sind
geometrische Überlegungen sehr nützlich. Wir
haben uns schon klar gemacht, dass f die Punkte
der imaginären Achse auf Punkte des Einheits-
kreises abbilden soll, also
[mm] $\left|{\bruch{z-a}{z+a}}\right|=1$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in i*\IR$
[/mm]
Das kann man auch schreiben als
[mm] $\left|{z-a}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|{z+a}\right|$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in i*\IR$
[/mm]
Das heisst: Jeder Punkt $\ z$ auf der imaginären Achse
soll von a und dem an O gespiegelten Punkt -a gleich
weit entfernt sein. Dies ist nur dann möglich, wenn
a auf der reellen Achse liegt, also [mm] a\in\IR [/mm] !
(Mach dir dies anhand einer Zeichnung klar und
beweise es rechnerisch !)
Wenige weitere Überlegungen sind erforderlich,
um sich klar zu machen, welche reellen Zahlen
für a möglich sind, falls die rechte Halbebene auf
das Innere des Einheitskreises abgebildet werden
soll.
LG
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