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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 28.06.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Möbiustransformation S, durch welche die Menge
G := { z ∈ [mm] \IC [/mm] : |z − 1| > 1 , |z − 3| < 3 }
auf {w ∈ [mm] \IC [/mm] : 0 < Rew < 1 } abgebildet wird. Ist dieses S eindeutig bestimmt? |
Hallo. Ich weiß bei dieser Aufgabe leider nicht, wie ich diese Möbiustransformation bestimmen soll. Die Zeichnung dazu habe ich vestanden. Vielleicht kann m ir hier jemand weiterhelfen. Danke schonmal.
Das ist die Zeichnung dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß dazu nur, dass sich die beiden Kreise K1 und K2, die den Rand von G bilden, nur im Punkt 0 schneiden, die beiden S(G) berandenden Geraden nur im Punkt 1. Daher muss S(0) = [mm] \infty [/mm] gelten.
Mehr fällt mir dazu nicht ein. Bin über jede Hilfe dankbar.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Machen wir für [mm]S[/mm] den Ansatz
[mm]S(z) = \frac{pz + q}{rz + s}[/mm]
mit komplexen Parametern [mm]p,q,r,s[/mm], für die [mm]ps-qr \neq 0[/mm] gilt. Wäre nun [mm]s \neq 0[/mm], so würde [mm]S(0) = \frac{q}{s} \in \mathbb{C}[/mm] gelten. Das kann aber nicht sein, denn das gesuchte [mm]S[/mm] muß [mm]S(0) = \infty[/mm] erfüllen. Denn die beiden Kreise haben 0 als Punkt gemeinsam und müssen durch [mm]S[/mm] auf die beiden den Streifen begrenzenden Geraden abgebildet werden. Die Geraden schneiden sich aber in [mm]\infty[/mm]. Somit folgt: [mm]s = 0[/mm], also
[mm]S(z) = \frac{pz + q}{rz} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r} \cdot \frac{1}{z} = \frac{q}{r} \cdot \left( \frac{1}{z} + \frac{p}{q} \right)[/mm]
Mit den Umbenennungen [mm]\lambda = \frac{q}{r}, c = \frac{p}{q}[/mm] folgt für [mm]S[/mm] der Ansatz
[mm]S(z) = \lambda \left( \frac{1}{z} + c \right)[/mm]
Nach der Abbildung [mm]z \mapsto \frac{1}{z}[/mm] werden also noch die Translation [mm]z \mapsto z + c[/mm] und die Drehstreckung [mm]z \mapsto \lambda z[/mm] ausgeführt.
Was macht zunächst [mm]z \mapsto \frac{1}{z}[/mm]? Wegen der Kreistreue betrachten wir drei Punkte des Kreises um 1 vom Radius 1:
[mm]0 \mapsto \infty \, , \ \ 2 \mapsto \frac{1}{2} \, , \ \ 1 + \operatorname{i} \mapsto \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{i}[/mm]
Das Bild des Kreises ist also die zur imaginären Achse parallele Gerade durch [mm]\frac{1}{2}[/mm].
Dann drei Punkte des Kreises um 3 vom Radius 3:
[mm]0 \mapsto \infty \, , \ \ 6 \mapsto \frac{1}{6} \, , \ \ 3 + 3 \operatorname{i} \mapsto \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \operatorname{i}[/mm]
Das Bild des zweiten Kreises ist also die zur imaginären Achse parallele Gerade durch [mm]\frac{1}{6}[/mm]. Wegen [mm]3 \mapsto \frac{1}{3}[/mm] wird also das vorgegebene Gebiet [mm]G[/mm] durch die Abbildung [mm]z \mapsto \frac{1}{z}[/mm] auf das Innere des Streifens zwischen den beiden oben beschriebenen Geraden abgebildet.
Jetzt ziehe diesen Streifen durch eine Translation [mm]z \mapsto z + c[/mm] nach links, so daß die linke Begrenzungsgerade auf die imaginäre Achse fällt. Dann strecke ihn durch [mm]z \mapsto \lambda z[/mm] mit einem reellen [mm]\lambda[/mm], damit er die richtige Breite bekommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Do 02.07.2009 | | Autor: | tynia |
Vielen Dank
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