Momentmethode- ML Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei der Endkontrolle von 500 Elektrogeräten werden Geräte mit 0,1,2 oder 3 Schönheitsfehlern entdeckt. Die Realisierung der Zufallsvariablen X=Anzahl der Schönheitsfehler mit den Häufigkeiten [mm] n_{k} [/mm] laugen:
X=k 0| 1 | 2 | 3
[mm] n_{k} [/mm] 330|138|25|7
Annahme P(X=k) = [mm] \lambda^{k}/k! [/mm] * [mm] e^{-\lambda}
[/mm]
(a) Momentschätzer berechnen
(b) ML Schätzer
für [mm] \lambda.
[/mm]
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Hallo,
ich versteh nicht wie man die Momentschätzer berechnet
wenn ich das erste Moment folgendermaßen berechne
[mm] \mu_{1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{3} [/mm] k*P(X=k) = [mm] e^{-\lambda}*(\bruch{\lambda^{3}}{6}+\bruch{\lambda^{2}}{2}+\lambda)
[/mm]
und dann mit den Häufigkeiten aus der Angabe rechne ich dann [mm] \burch{1}{n}*\summe_{k=0}^{3} k*n_{k} [/mm] = 209/500
nur ist nun das [mm] \lambda [/mm] sehr schwer zu berechnen. Gibt es da eine einfachere Methode?
für b) habe ich den ML Schätzer für [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{X} [/mm] herausbekommen, aber was mache ich nun mit meinen Häufigkeiten [mm] n_{k} [/mm] aus der Angabe?
Bin bei dem Bsp ein wenig verwirrt, vl kann mir da jemand Helfen.
mfg
tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 31.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Bei der Endkontrolle von 500 Elektrogeräten werden Geräte
> mit 0,1,2 oder 3 Schönheitsfehlern entdeckt. Die
> Realisierung der Zufallsvariablen X=Anzahl der
> Schönheitsfehler mit den Häufigkeiten [mm]n_{k}[/mm] laugen:
>
> X=k 0| 1 | 2 | 3
> [mm]n_{k}[/mm] 330|138|25|7
>
> Annahme P(X=k) = [mm]\lambda^{k}/k![/mm] * [mm]e^{-\lambda}[/mm]
>
> (a) Momentschätzer berechnen
> (b) ML Schätzer
>
> für [mm]\lambda.[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> ich versteh nicht wie man die Momentschätzer berechnet
>
> wenn ich das erste Moment folgendermaßen berechne
>
> [mm]\mu_{1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{3}[/mm] k*P(X=k) =
> [mm]e^{-\lambda}*(\bruch{\lambda^{3}}{6}+\bruch{\lambda^{2}}{2}+\lambda)[/mm]
>
> und dann mit den Häufigkeiten aus der Angabe rechne ich
> dann [mm]\burch{1}{n}*\summe_{k=0}^{3} k*n_{k}[/mm] = 209/500
>
> nur ist nun das [mm]\lambda[/mm] sehr schwer zu berechnen. Gibt es
> da eine einfachere Methode?
Du brauchst das erste Moment der Poissonverteilung. Das ist hier [mm] $\lambda$. [/mm]
>
> für b) habe ich den ML Schätzer für [mm]\lambda[/mm] = [mm]\overline{X}[/mm]
> herausbekommen, aber was mache ich nun mit meinen
> Häufigkeiten [mm]n_{k}[/mm] aus der Angabe?
Es faellt dir vermutlich leicht, [mm] $\bar [/mm] x$ fuer die Zahlen 0,1,0,2,1,0,3 zu berechnen. Es ist dann aber
X=k 0| 1 | 2 | 3
$ [mm] n_{k} [/mm] $ 3| 2 | 1 | 1
Klingelt's?
vg Luis
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Hallo,
> Du brauchst das erste Moment der Poissonverteilung. Das
> ist hier [mm]\lambda[/mm].
>
Aber wie würde ich das berechnen? Die Momentmethode ist mir nicht wirklick klar. z.B. wenn ich folgende Funktion hätte:
[mm] f_{x}=\begin{cases} \theta*a^{\theta}x^{-\theta-1}, & \theta > 0, x>a>0, \mbox{a konstant} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
> >
> Es faellt dir vermutlich leicht, [mm]\bar x[/mm] fuer die Zahlen
> 0,1,0,2,1,0,3 zu berechnen. Es ist dann aber
>
>
> X=k 0| 1 | 2 | 3
> [mm]n_{k}[/mm] 3| 2 | 1 | 1
>
> Klingelt's?
ja
mfg tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 31.01.2009 | | Autor: | luis52 |
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> >
> Aber wie würde ich das berechnen? Die Momentmethode ist mir
> nicht wirklick klar. z.B. wenn ich folgende Funktion
> hätte:
>
> [mm]f_{x}=\begin{cases} \theta*a^{\theta}x^{-\theta-1}, & \theta > 0, x>a>0, \mbox{a konstant} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
Bleiben wir lieber bei dem urspruenglichen Beispiel. Angenommen, die Verteilung haengt (wie die Poissonverteilung) von *einem* Parameter ab. Hauefig ist es so, dass der Erwartungswert der Verteilung von diesem Parameter abhaengt (hier gilt sogar [mm] $\operatorname{E}[X]=\lambda$). [/mm] Da [mm] $\bar [/mm] X$ erwartungstreu ist, ist es naheliegend, einen Schaetzer mit [mm] $\overline{\operatorname{E}[X]}=\bar [/mm] X$ zu ermitteln. Hier ist also [mm] $\hat\lambda=\bar [/mm] X$ ein Momentenschaetzer fuer [mm] $\lambda$.
[/mm]
Bei deinem Beispiel musst du also den Erwartungswert der Verteilung bestimmen, den entsprechenden Ausdruck, der vermutlich von [mm] $\theta$ [/mm] abhaengt, gleich [mm] $\bar [/mm] X$ setzen und nach [mm] $\theta$ [/mm] aufloesen.
vg Luis
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> .
> > >
> > Aber wie würde ich das berechnen? Die Momentmethode ist mir
> > nicht wirklick klar. z.B. wenn ich folgende Funktion
> > hätte:
> >
> > [mm]f_{x}=\begin{cases} \theta*a^{\theta}x^{-\theta-1}, & \theta > 0, x>a>0, \mbox{a konstant} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
> Bei deinem Beispiel musst du also den Erwartungswert der
> Verteilung bestimmen, den entsprechenden Ausdruck, der
> vermutlich von [mm]\theta[/mm] abhaengt, gleich [mm]\bar X[/mm] setzen und
> nach [mm]\theta[/mm] aufloesen.
>
Hallo danke erstmal,
aber könntest du mir das Berechnen des Momentschätzers anhand dieses Beispiels erklären, ich schaffe es irgendwie auch nicht den Erwartungswert zu bestimmen
[mm] \integral_{a}^{\infty}{x*\theta*a^{\theta}x^{-\theta-1} dx} [/mm] hier erhalte ich immer unendl. als Lösung.
mfg tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 01.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\integral_{a}^{\infty}{x*\theta*a^{\theta}x^{-\theta-1} dx}[/mm]
> hier erhalte ich immer unendl. als Lösung.
>
Das kann sein. Dann kann man den Momentenschaetzer nicht angeben. Hast du dir das selber ausgedacht?
vg Luis
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> > [mm]\integral_{a}^{\infty}{x*\theta*a^{\theta}x^{-\theta-1} dx}[/mm]
> > hier erhalte ich immer unendl. als Lösung.
> >
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> Das kann sein. Dann kann man den Momentenschaetzer nicht
> angeben. Hast du dir das selber ausgedacht?
Nein, steht so bei meinen Übungen dabei. Muss mich mal umhören, vielleicht hat jemand anders bereits eine Lösung.
mfg
tom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 01.02.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Nein, steht so bei meinen Übungen dabei. Muss mich mal
> umhören, vielleicht hat jemand anders bereits eine Lösung.
>
![[]](/images/popup.gif) Da schau her.
vg Luis
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