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| Aufgabe | Es sei f : D → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie, dass f nur abzählbar viele
Unstetigkeitsstellen besitzt.
Hinweis: Charakterisieren Sie zunächst die Art der Unstetigkeit und betrachten Sie Elemente einer
gewissen, bekanntermaßen abzählbaren Menge... |
Hi ihr,
da ich leider keinen Ansatz finde, wie man diese monotone Funktion mit den abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen in Verbindung bringt, dachte ich, ich frag euch einmal und hoffe, man kann mir weiterhelfen.
Ich glaube mein Problem ist, dass ich mir das nicht so recht vorstellen kann, wie das aussieht und vor allem, weil es ja noch dazu irgendeine monotone Funktion sein soll und das dann also damit für jede gelten muss.
Ist diese gewisse, bekanntermaßen abzählbare Menge denn N? Irgendwie verwirrt mich dieser leicht sarkastische Unterton in diesem Hinweis auf meiner Aufgabenstellung 
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Guten Morgen und einen schönen dritten Advent
Also du sollst dir ja überlegen was für eine Art von Unstetigkeitsstelle das ist.
Mal dir doch mal eine Monotone Funktion auf. Wenn die eine Unstetigkeitsstelle hat, dann überspringt sie ja bildlich gesprochen eine reele Zahl oder auch ein Intervall von reelen Zahlen. Die abzählbare Menge die du hier brauchst ist [mm] \IQ [/mm] also die rationalen Zahlen. Der Beweis der Aussage ist ein Beweis mit Widerspruch. Du nimmst an f hätte überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen und zeigst das dann im Widerspruch zu Abzählbarkeit von Q steht.
Hinweis hier: In jedem von der Unstetigkeitsstelle übersprungenen Intervall befindet sich eine Rationale Zahl( [mm] \IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR)
[/mm]
Dann solltest du das hinbekommen
Einen schönen Tach wüsche ich
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