Monotonie+Beschränktheit=Konve < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Ist eine Folge (monoton und beschränkt) gleich konvergent? |
Hallo an alle!
Ich habe mit einem Freund zu der gestellten Aufgabe ein Video angeschaut. Es soll heißen, wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, so kann man hier auf die Konvergenz schließen. Vorerst, Begriffsklärung: Konvergent, Folge nähert sich dem Wert 0?
So, nun hat es im Video 2 Folgen zur Veranschaulichung gegeben:
Bsp. 1:
[mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Die Folge ist ganz klar monoton, denn [mm] a_{n}>a_{n+1} [/mm] (sogar streng monoton fallend)
Des Weiteren ist sie beschränkt, denn 0 < [mm] a_{n} \le [/mm] 1 gilt. Soweit von unserem Verständnis okay?
So, wenn, dann ist ja soweit alles i.O.
Bsp. 2:
[mm] \bruch{(-1)^{n}}{n}
[/mm]
Die Folge ist nach meinen Berechnungen nicht monoton, denn die Werte zwischen +/- schwanken. Also Monotonie: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n+2}
[/mm]
So, nun die Beschränktheit:
-1 [mm] \le \bruch{(-1)^{n}}{n} \le [/mm] 1 und somit beschränkt.
So, das Ergebnis des zweiten Beispiels ist: Nicht monoton aber beschränkt. So nun wird aber gesagt, dass es trotzdem konvergent ist.......und das verstehe ich nicht. Die werte springen hin und her daher ist es für mich keine Konvergenz. Aber vielleicht könnt ihr mich ja korrigieren.
THX und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Ist [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt, so ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent.
Ist [mm] (a_n) [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent.
Was fällt dir denn auf, wenn du die ersten Folgenglieder der Folge [mm] (\bruch{(-1)}{n})_{n\in\IN} [/mm] aufschreibst ?
Was noch ein besseres Beispiel ist zur Verdeutlichung unserer "falschen Intuition" ist die Folge [mm] ((1+\bruch{1}{n})^n)_{n\in\IN}.
[/mm]
Die Folge konvergiert hier nicht gegen 1, wie man bestimmt glaubt ;)
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Wenn ich mir das Ganze anschaue....
Dann nähern sich die positiven und negative Werte der doch dem Grenzwert 0??? Nich monoton aber die tun es, ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Nun musst du das nur noch zeigen. Also :
[mm] \forall\epsilon>0\ \exists n_0\in\IN:|a_n|<\epsilon\ \forall n\ge n_0
[/mm]
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Danke für die Antwort, aber es war paar Buchstaben zuviel :D
So nun aber die Grundfrage!!!!!!
Die Folge ist nicht monoton und Trotzdem konvergent. Die Voraussetzung die mir genannt war, dass eine monotone und beschränkte Folge eine konvergente ist. Und hier komme ich an den Widerspruch.....
Gruß
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Hallo Hybris,
> So nun aber die Grundfrage!!!!!!
> Die Folge ist nicht monoton und Trotzdem konvergent. Die
> Voraussetzung die mir genannt war, dass eine monotone und
> beschränkte Folge eine konvergente ist. Und hier komme ich
> an den Widerspruch.....
das ist kein Widerspruch: in der Logik folgt keineswegs, dass aus A=>B auch B=>A folgt. Mit anderen Worten: Monotonie und Beschränktheit sind, zusammengenommen ein hinreichendes Kriterium für Konvergenz (weshalb?). Eine Konvergente Folge muss jedoch keinesfalls monoton sein, jedoch beschränkt (wiederum: weshalb).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Du musst immer auf die Sätze achten. In dem Fall ist es keine "genau, dann" Bedingung.
MfG
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