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Forum "Analysis-Sonstiges" - Monotonie
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Monotonie: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 So 19.08.2007
Autor: Maraike89

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Monotonie
a) [mm] y=x^4 [/mm]
b) [mm] y=\wurzel{x-1} [/mm] mit [mm] x\ge1 [/mm]
c) [mm] y=x^3+2x [/mm]
d) y=|x²-2x+1| mit [mm] x\ge1 [/mm]

Hi,

stimmen die Ergebnisse

a) Monoton steigend wenn x>0, Monoton fallend wenn x<0
b) Monton steigend wenn  [mm] x\ge1 [/mm] (fängt bei 0 an und steigt)
c) Monoton steigend wenn x>0 und x<0
d) Monoton steigend (wegen Betragsstriche)

Vielen Dank

LG
        
Bezug
Monotonie: Korrektur (Aufgabe d.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 19.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Maraike!



> a) Monoton steigend wenn x>0, Monoton fallend wenn x<0

[ok]


> b) Monton steigend wenn  [mm]x\ge1[/mm] (fängt bei 0 an und steigt)

[ok]


> c) Monoton steigend wenn x>0 und x<0

[ok] Und was ist mit $x \ = \ 0$ ? ;-)
Die Funktion ist als im gesamten Definitionsbereich $D \ = \ [mm] \IR$ [/mm] monoton steigend.


>  d) Monoton steigend (wegen Betragsstriche)

[notok] [ok] Das Ergebnis stimmt mit "monoton steigend". Aber das hat nichts mit den Betragsstrichen zu tun, wie man schnell am Beispiel $f(x) \ = \ |x|$ sieht.

Die Monotonie gilt hier nur wegen des vorgegebenen Intervalles mit $x \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ !

Die Funktion kann man auch zusammenfassen zu:

$f(x) \ = \ [mm] \left| \ x^2-2x+1 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ (x-1)^2 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] (x-1)^2$ [/mm]

Die Betragsstriche können entfallen, da [mm] $(...)^2$ [/mm] nie negativ wird.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 19.08.2007
Autor: Maraike89

Danke, also ist c) immer Monoton steigend?
Bezug
                        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 So 19.08.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

> Danke, also ist c) immer Monoton steigend?

Genau, c) ist in [mm] \IR [/mm] streng monoton steigend, da f'(x) stets größer als 0 ist.

Gruß
Reinhold
Bezug
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