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Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

es sei a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b und f:[a,b]->[a,b] eine monoton wachsende stetige
Funktion sowie [mm] x_0 \in [/mm] [a,b].
Die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN^0} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] f(x_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN^0 [/mm]

Nun soll gezeigt werden, dass [mm] (x_n) [/mm] eine monoton wachsende oder fallende Folge ist.
Habe ich das richtig erkannt, dass [mm] (x_n) [/mm] eine monoton wachsende Folge ist?
Allerdings kann ich das mathematisch wohl noch nicht korrekt zeigen.
Also f ist monoton wachsend, d.h. x<y => f(x)<f(y).
[mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] denn [mm] x_1 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] x_2 [/mm]

Hm, irgendwie irritiert mich, dass lediglich [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] definiert ist.

Danke,
Anna

        
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Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Mo 19.05.2008
Autor: max3000

Nein, das hast du nicht richtig erkannt. Das "oder" hat eher die Bedeutung "entweder oder", das kommt ganz auf die Funktion f und auf die Wahl deines Punktes [mm] x_0 [/mm] an.

Für [mm] x_0\in[a,b] [/mm] kann [mm] f(x_0) [/mm] zum Beispiel schonmal kleiner als [mm] x_0 [/mm] sein.

Beispiel: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] und [mm] x_0=\bruch{1}{2} [/mm]
dann ist [mm] f(x_0)=x_1=\bruch{1}{4} [/mm]
[mm] x_2=f(x_1)=\bruch{1}{8}, [/mm] und so weiter.

Verstehst du wie das gemeint ist?

Ich muss leider weg, ich versuche Später eine richtige Antwort zu finden.

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Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo max3000,

danke für Deine Antwort.

> Nein, das hast du nicht richtig erkannt. Das "oder" hat
> eher die Bedeutung "entweder oder", das kommt ganz auf die
> Funktion f und auf die Wahl deines Punktes [mm]x_0[/mm] an.

Das dachte ich auch zuerst (siehe die erste Version meiner Frage).
Also lag ich mit meiner ersten Vermutung doch richtig...

Gruß,
Anna

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Monotonie: Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

aber wenn denn die Folge sowohl monoton wachsend oder monoton fallend sein kann,
wie ist das dann mit den Grenzwert.
Da die Folge ja konvergent ist liegt der Grenzwert in [a,b]. Korrekt?

Gruß,
Anna

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Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mo 19.05.2008
Autor: Gonozal_IX

Hallo Anna,

das hast du richtig erkannt. [mm] x_n [/mm] ist monoton und beschränkt (entweder durch a oder durch b) und damit auch konvergent und es gilt [mm]a \le x_n \le b[/mm] und damit [mm]a \le \limes_{n\rightarrow\infty}x_n \le b[/mm]

MfG,
Gono.

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Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo  Gono,

danke für Deine Antwort. Aber genauer kann man den Grenzwert nicht
festlegen, weil man dafür ja eine konkretere Aussage über [mm] x_0 [/mm] benötigen
würde. Korrekt?

Gruß,
Anna


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Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 19.05.2008
Autor: Gonozal_IX

Nicht nur [mm] x_0 [/mm] müsste man kennen, sondern auch (und das ist viel wichtiger) f muss bekannt sein.... um das Beispiel von oben aufzugreifen:

[mm]f(x) = \frac{1}{2}x[/mm]

Da ist der Startwert für die Konvergenz völlig egal :-)
Ist zwar nicht zwangweise so (beispielsweise bei der Identität), aber ohne f gehts gar nicht.

Gruß,
Gono.

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Monotonie: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Gono,

klar, auch und vor allen f - ich sehe es ein ;-) DANKE!!

Gruß,
Anna

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Monotonie: Fixpunkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

und wenn ich nun zeigen möchte, dass
x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] ein Fixpunkt von f ist, also f(x)=x gilt.
Wie setze ich da an? Ich denke mal, man nutzt da die stetigkeit von
f aus. Aber so ganz weiß ich nicht wie ich da korrekt vorgehe.

Danke,
Anna

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Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Mo 19.05.2008
Autor: Gonozal_IX

Also mir fallen da spontan 2 Wege ein:

1.) [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]

Dann gilt: [mm]f(x) = ... [/mm] (Tip: Stetigkeit und Limes verhält sich wie? Es gilt: [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm])

2.) Durch einen Widerspruch: Wenn [mm]f(x) \not= x \Longrightarrow f(x) < x \vee f(x) > x [/mm]
Wie kannst du dir dann aus der Tatsache, dass [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] und der Monotonie von [mm] (x_n) [/mm] einen Widerspruch basteln?

MfG,
Gono.

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Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mo 19.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Gono,

ich würde es gerne hiermit probieren:

> 1.) [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
>  
> Dann gilt: [mm]f(x) = ...[/mm] (Tip: Stetigkeit und Limes verhält
> sich wie? Es gilt: [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm])

Irgendwie komme ich nicht weiter. Wenn ich [mm] f(x_n) [/mm] n gegen unendlich
gehen lasse, dann ist das gleich x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n. [/mm]
Tja, aber das reicht doch so nicht?

Danke für weitere Tipps,
Anna



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Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Di 20.05.2008
Autor: Gonozal_IX

Hallo Anna,

verzeih die späte Antwort.
Du hast richtig erkannt, es gilt:

[mm]f(x) = f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} = x[/mm]

Warum sollte das so nicht gehen? ;-)

MfG,
Gono.

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Monotonie: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:59 Mi 21.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Gono,

> verzeih die späte Antwort.

kein Problem. Ich freue mich und bin dankbar über jede Antwort!

> Du hast richtig erkannt, es gilt:
>  
> [mm]f(x) = f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} = x[/mm]
>  
> Warum sollte das so nicht gehen? ;-)

Nagut, habe ich das wohl doch richtig verstanden :-)
Danke,
Anna

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Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Do 22.05.2008
Autor: Gonozal_IX

Die andere Methode wär halt über die Monotonie zu gehen, kurze Beweisskizze:

oBdA: [mm](x_n)[/mm] monoton fallend (anderer Fall analog), [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm]


Ann: [mm]f(x) \not= x[/mm]

1. Fall: [mm]f(x) > x[/mm] Widerspruch zur Monotonie

2. Fall [mm]f(x) < x \Longrightarrow \exists\varepsilon>0: x - f(x) > \varepsilon[/mm]
Nu gilt aufgrund der Monotonie für alle folgenden f(x) ebenfalls [mm]x - f(x) > \varepsilon[/mm] Dies ist ein Widerspruch zur Grenzwertannahme.

=> f(x) = x

MfG,
Gono.


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Monotonie: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Sa 24.05.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo  Gono,

danke für Deine weitere Antwort! So ähnlich dachte ich mir das dann auch.

Gruß,
Anna

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