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| Aufgabe | Sei an:= [mm] 2^{-n}. [/mm] Die Funktionen [mm] fn:(0,\infty) \to \IR [/mm] seien durch
[mm] fn(x):=\bruch{1}{an} (x^{an}-1) [/mm] definiert.
a. Zeigen Sie, dass (fn)n monoton fällt. Dazu rechnen Sie nach, dass fn(x)-fn+1(x)= [mm] 2^{n}(x^{an+1}-1)^{2} [/mm] gilt. |
Hallo Forumer, habe die Funktion eingesetzt, weiß aber nicht wie ich Umformen soll um zum Ziel zu kommen. Könnt ihr mir helfen?
[mm] [(\bruch{1}{2^{-n}} (x^{2^{-n}}-1) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2^{-n+1}} (x^{2^{-n+1}}-1)
[/mm]
Die [mm] x^{2^{-n}} [/mm] hat eine Potenz hoch einer Potenz, ich weiß nicht ob man das gut sieht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
> [mm][(\bruch{1}{2^{-n}} (x^{2^{-n}}-1)[/mm] - [mm](\bruch{1}{2^{-n+1}} (x^{2^{-n+1}}-1)[/mm]
Du musst beim hinteren Term jeweils $(n+1)_$ in Klammern setzen, so dass sich ergibt:
[mm] $$\bruch{1}{2^{-n}}*\left(x^{2^{-n}}-1\right) -\bruch{1}{2^{-n\red{-}1}} *\left(x^{2^{-n\red{-}1}}-1\right)$$
[/mm]
Forme nun die beiden vorstehenden Brüche um und klammere anschließend [mm] $2^n$ [/mm] aus.
Gruß
Loddar
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Kann ich die Nenner jetzt hoch holen?
[mm] 2^{n}(x^{2^{-n}}-1)-2^{n+1}(x^{2^{-n-1}}-1)? [/mm]
Und dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
Wie ich schon schrieb: klammere nun [mm] $2^n$ [/mm] aus und fasse in der Klammer zusammen.
Zudem gilt:
[mm] $$x^{2^{-n}} [/mm] \ = \ [mm] x^{2*2^{-n-1}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ x^{2^{-n-1}} \ \right)^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Mich irritiert die n+1. Wenn ich die [mm] 2^{n} [/mm] ausklammere, was bleibt denn dann noch für [mm] 2^{n+1} [/mm] stehen vor der Klammer stehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
Das sind Basics durch Anwendung der  Potenzgesetze. Es gilt:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*2^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Morgen,
ich hab da meine Probleme mit dem umformen. Hab da also stehen
[mm] 2^{n}[(x^{2^{-n}-1}-(2x^{2^{-n-1}}-2)]
[/mm]
soll ich die Werte jetzt einfach subtrahieren. Dann hab ich aber wieder zwei verschiedene Potenzen stehen. Oder muss ich mit etwas erweitern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 05.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
Der Aufgabenstellung ist doch zu entnehmen, dass Du irgendwann eine binomische Formel anwenden musst. Die notwendige Umformung für [mm] $x^{...}$ [/mm] habe ich Dir bereits in der letzten Antwort genannt.
Gruß
Loddar
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