Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 19.01.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{1}{3}cos(x)+ \bruch{1}{3} [/mm] ln(1+x)
Untersuche die Fkt. im Intervall (0,1) ob sie monoton steigend oder fallend ist. |
Hallo Zusammen.
ich sitze vor folgenden Problem:
Ich habe zunächst f(x) gezeichnet, da kam raus, dass die im Intervall (0,1) monoton steigend ist. Die Skizze reicht ja selbstverständlich nicht aus. Deshalb habe ich die erste Ableitung gebildet.
f'(x) = [mm] -\bruch{1}{3}sin(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
Es muss ja gelten: f'(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Und das muss ja für das ganze Intervall gelten.
sin(x) ist ja im Intervall (0, [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] zwischen 0 und 1.
Dann habe ich es über eine Abschätzung versucht. (Abschätzung nach oben)
sin(x) < 1
Also: f´(x)= [mm] -\bruch{1}{3}*1+ \bruch{1}{3}* \bruch{1}{1+1}=\bruch{-1}{6}
[/mm]
Ich glaube ich hätte bei der Ableitung vom ln beim x eine 0 einsetzen sollen, weil ich nur dann die Funktion vergrößere aber dann kommt f`(x) = 0 raus.
Ist die Abschätzung falsch ? Denn demnach ist es ja monton fallend..
Wäre nett wenn mir zeigen würde wie es richtig geht. Sitz schon zwei Stunden dran und komm nicht voran. Danke im Voraus.
Bitte um Erklärung
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f(x)= [mm]\bruch{1}{3}cos(x)+ \bruch{1}{3}[/mm] ln(1+x)
>
> Untersuche die Fkt. im Intervall (0,1) ob sie monoton
> steigend oder fallend ist.
> Hallo Zusammen.
>
> ich sitze vor folgenden Problem:
>
> Ich habe zunächst f(x) gezeichnet, da kam raus, dass die
> im Intervall (0,1) monoton steigend ist. Die Skizze reicht
> ja selbstverständlich nicht aus. Deshalb habe ich die
> erste Ableitung gebildet.
>
> f'(x) = [mm]-\bruch{1}{3}sin(x)[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm]
>
> Es muss ja gelten: f'(x) [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Und das muss ja für das ganze Intervall gelten.
>
> sin(x) ist ja im Intervall (0, [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] zwischen 0
> und 1.
>
> Dann habe ich es über eine Abschätzung versucht.
> (Abschätzung nach oben)
>
> sin(x) < 1
das ist schon Unsinn. Wenn überhaupt gehört da [mm] $\le [/mm] 1$ hin!
>
> Also: f´(x)= [mm]-\bruch{1}{3}*1+ \bruch{1}{3}* \bruch{1}{1+1}=\bruch{-1}{6}[/mm]
Das ist auch Unsinn. Wo benutzt Du denn hier eine Abschätzung? Und wie kommt die Gleichung überhaupt zustande?
>
> Ich glaube ich hätte bei der Ableitung vom ln beim x eine
> 0 einsetzen sollen, weil ich nur dann die Funktion
> vergrößere aber dann kommt f'(x) = 0 raus.
Hier verstehe ich gar nicht, was die eigentliche Frage ist. Meinst Du, Du willst $f'(0)$ berechnen? Das geht natürlich...
> Ist die Abschätzung falsch ? Denn demnach ist es ja
> monton fallend..
Naja, Du willst ja [mm] $f'\,$ [/mm] nach unten abschätzen - und hoffentlich [mm] $0\,$ [/mm] als untere Schranke erkennen. Es war
[mm] $$f'(x)=-(1/3)\sin(x)+(1/3)*1/(1+x)\,,$$
[/mm]
wobei, weil [mm] $f(x)=(1/3)\cos(x)+(1/3)\ln(1+x)\,$ [/mm] war, man $x > [mm] -1\,$ [/mm] annehmen sollte.
So ganz verkehrt war Dein Vorgehen nicht:
Aus [mm] $\sin(x) \le [/mm] 1$ folgt
[mm] $$(I)\;\;\;(-1/3)\sin(x) \ge -1/3\,.$$
[/mm]
Nun kann man aber leider nur sagen
[mm] $$(II)\;\;\;(1/3)*1/(1+x) \ge 0\,.$$
[/mm]
(Das erkennt man bei $-1 < x [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: Die vermutete Monotonie erhalten wir so nicht. Sie wird sich auch nicht zeigen lassen, wie mir ein schöner Plotter verraten hat.
(Das kann man sich auch einfacher überlegen: Denn $x [mm] \mapsto [/mm] -(1/3) [mm] \sin(x)$ [/mm] nimmt auch bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] ständig die Werte [mm] $-1/3\,$ [/mm] und [mm] $1/3\,$ [/mm] an, ist nicht monoton, während die Funktionswerte von $h: x [mm] \mapsto [/mm] h(x):=1/(1+x)$ auf [mm] $(-1,\infty)$ [/mm] "vom unendlichen herkommend streng auf [mm] $0\,$ [/mm] zulaufen" bei $x [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Es ist dann klar, dass [mm] $h(x)\,$ [/mm] ab einem genügen großen [mm] $x\,$ [/mm] stets $0 < h(x) [mm] \le [/mm] 1/9$ erfüllt, und $f'$ wird ab dann auch immer Werte [mm] $\le [/mm] 1/9-1/3 < 0$ und auch [mm] $\ge [/mm] 0+1/3=1/3 > 0$ haben. Also kann weder $f' [mm] \ge [/mm] 0$ noch $f' [mm] \le [/mm] 0$ gelten!)
Damit Du das auch einsiehst:
Berechne mal [mm] $f(\pi/4)\,,$ $f(\pi)$ [/mm] und [mm] $f(2*\pi)\,.$ [/mm] Das kann man einfach nur auf dem Papier ausrechnen, oder meinetwegen auch mal mit dem Taschenrechner!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 19.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Das hat mir nicht wirklich weitergeholfen, ehrlich gesagt.
Das Problem wird wohl sein, dass ich die Skizze falsch erstellt habe.
Da ja laut deiner Auffassung, sich dort im Intervall ein Extrema befindet.
Aber wie soll ich den bei solch einer Funktion die Skizze von f(x) am einfachsten erstellen.
f(0) ist ja einfach.
Aber die restlichen Werte, da ist mir keine einfache Methode ohne Taschenrechner nicht bekannt.
Gruß yuppi
Die Sache ist ich kann kein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das hat mir nicht wirklich weitergeholfen, ehrlich gesagt.
das glaube ich Dir nicht - es sei denn, Du hast nicht drüber nachgedacht, was ich geschrieben habe. Aber dann kann auch schreiben, wer will. Denn bei allem, was ich geschrieben habe:
Dass [mm] $f(\pi/4) [/mm] > [mm] f(\pi)$ [/mm] und aber auch [mm] $f(\pi) [/mm] < [mm] f(2*\pi)$ [/mm] ist- wenigstens diese Erkenntnis hättest Du mitnehmen MÜSSEN!
> Das Problem wird wohl sein, dass ich die Skizze falsch
> erstellt habe.
Hier der Plot: Das rote ist die Funktion, das blaue die Ableitung. Ich habe Dir eben erklärt, wieso die blaue Funktion "zwischen echt negativen und echt positiven Werten" bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] hin und herhüpft.
Um das zu verstehen, liest Du meinen Text nochmal und schaust Dir die Funktion in Lila und die in Schwarz geplottet an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Da ja laut deiner Auffassung, sich dort im Intervall ein
> Extrema befindet.
Es wird sogar (abzählbar unendlich) viele Extrema geben.
> Aber wie soll ich den bei solch einer Funktion die Skizze
> von f(x) am einfachsten erstellen.
Ich denke, Du solltest Dir erstmal klar machen, wie der Graph von [mm] $f\,'$ [/mm] aussieht. Dann meinetwegen [mm] $f(0)\,$ [/mm] berechnen und dann mithilfe des Graphen von [mm] $f\,'$ [/mm] auf den von [mm] $f\,$ [/mm] schließen.
Aber bitte: Erstmal ein wenig mehr Gedanken an die Sachen opfern...
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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