Monotonie < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Nachhilfestunde vor, welche ich morgen zu halten habe.
Da ist mir der Monotoniesatz nicht ganz klar; ich habe da zwei verschiedene Definitionen gefunden:
1.) Eine Funktion f, die auf einem Intervall I definiert ist, heißt streng monoton wachsend, wenn für alle
[mm] x_1,x_2 \in [/mm] I mit [mm] x_1
2.) Gilt für eine differenzierbare Funktion f in einem Intervall I, dass f'(x)>0 für alle x [mm] \in [/mm] I, dann ist f streng monoton wachsend in I.
Wenn ich z.B. folgende Funktion anschaue:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für } x \in [- \infty ; 1] \mbox{ } \\
x, & \mbox{für } x \in [1; \infty] \mbox{}
\end{matrix}\right.
[/mm]
, so könnte ich ja 1.) darauf anwenden; 2.) weniger, wegen dem Punkt P(1;1), wo f(x) nicht differenzierbar ist.
Oder rede ich Unsinn?
Besten Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo,
> Hallo,
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> ich bereite mich gerade auf eine Nachhilfestunde vor,
> welche ich morgen zu halten habe.
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> Da ist mir der Monotoniesatz nicht ganz klar; ich habe da
> zwei verschiedene Definitionen gefunden:
>
> 1.) Eine Funktion f, die auf einem Intervall I definiert
> ist, heißt streng monoton wachsend, wenn für alle
>
> [mm]x_1,x_2 \in[/mm] I mit [mm]x_1
>
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> 2.) Gilt für eine differenzierbare Funktion f in einem
> Intervall I, dass f'(x)>0 für alle x [mm]\in[/mm] I, dann ist f
> streng monoton wachsend in I.
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> Wenn ich z.B. folgende Funktion anschaue:
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> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für } x \in [- \infty ; 1] \mbox{ } \\
x, & \mbox{für } x \in [1; \infty] \mbox{}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> , so könnte ich ja 1.) darauf anwenden; 2.) weniger, wegen
> dem Punkt P(1;1), wo f(x) nicht differenzierbar ist.
>
> Oder rede ich Unsinn?
>
> Besten Dank für eine Antwort.
>
>
> LG, Martinius
sieh dir mal die beiden kurven an, welche ich hier geplottet habe:
![[]](/images/popup.gif) hier klicken
vielleicht hilft dir das ja schnell auf die sprünge ;)
LG Scherzkrapferl
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Hiho,
> Wenn ich z.B. folgende Funktion anschaue:
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> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für } x \in [- \infty ; 1] \mbox{ } \\
x, & \mbox{für } x \in [1; \infty] \mbox{}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
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> , so könnte ich ja 1.) darauf anwenden; 2.) weniger, wegen
> dem Punkt P(1;1), wo f(x) nicht differenzierbar ist.
>
> Oder rede ich Unsinn?
nein, du hast völlig recht. Alleine schon, weil $f'(x) > 0$ nicht mal auf dem gesamten Bereich gilt, wo f differenzierbar ist  (Aber das ist ja nur ein kleineres Problem)
Aber als schönes Gegenbeispiel, dass schon eine Stelle die Monotonie kaputt macht, kannst du ja die gleiche Funktion ein wenig modifizieren zu:
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für } x \in [- \infty ; 1] \mbox{ } \\
x-1, & \mbox{für } x \in [1; \infty] \mbox{}
\end{matrix}\right.[/mm]
Aber natürlich ist sie auf den Intervallen, wo sie differenzierbar ist, auch streng monoton wachsend!
MFG,
Gono.
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Hallo Scherkrapferl, Hallo Gonozal_IX,
habt besten Dank für Eure Antworten!
Nur noch eine Verständnisfrage:
die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] ist
- für x<0 streng monoton wachsend,
- für 0<x streng monoton wachsen
- aber auf ihrem ganzen Definitionsbereich nur monoton wachsend, wegen f'(x=0)=0.
Ist das so richtig?
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Scherkrapferl, Hallo Gonozal_IX,
>
> habt besten Dank für Eure Antworten!
>
>
> Nur noch eine Verständnisfrage:
>
> die Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] ist
>
> - für x<0 streng monoton wachsend,
>
> - für 0<x streng monoton wachsend
soweit stimme ich Dir zu!
> - aber auf ihrem ganzen Definitionsbereich nur monoton
> wachsend, wegen f'(x=0)=0.
>
> Ist das so richtig?
leider nein. Die Funktion ist ein Beispiel dafür, dass bei einer differenzierbaren Funktion zwar gilt:
"Ist stets $f'(x) > [mm] 0\,,$ [/mm] so wächst [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton"
aber die Umkehrung
"Falls [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton wächst, dann ist auch stets $f'(x) > 0$"
ist im allgemeinen Fall falsch. Das Problem bei streng monotonen Funktionen können quasi "Wendestellen sein, an denen die Tangente auch parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegt".
P.S.:
Zur strengen Monotonie:
Aus $x < y$ folgt diese wegen (vgl. etwa hier)
[mm] $$y^3-x^3=(y-x)*(y^2+xy+x^2)$$
[/mm]
und unter Beachtung von
[mm] $$y^2+xy+x^2> [/mm] 0 [mm] \gdw \left(y+\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{3}{4}x^2 [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Letztstehende Ungleichung gilt, weil:
Wenn $x [mm] \not=0$ [/mm] ist, ist [mm] $(3/4)x^2 [/mm] > 0$ und damit gilt die Ungleichung offensichtlich, und wenn [mm] $x=0\,$ [/mm] ist, ist (wegen $x < [mm] y\,$) [/mm] dann $y [mm] \not=0$ [/mm] und damit [mm] $(y\;+(1/2)x)^2=y^2 [/mm] > 0$ und damit ist die Ungleichung dann auch wahr.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Marcel,
habe besten Dank für Deine Antwort. (Ich werde sie mir morgen noch einmal anschauen.)
Vorerst werde ich mich dann wohl an die 1. Definition halten.
Vielen Dank an alle & gute Nacht,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> habe besten Dank für Deine Antwort. (Ich werde sie mir
> morgen noch einmal anschauen.)
>
>
> Vorerst werde ich mich dann wohl an die 1. Definition
> halten.
bitte immer erstmal an die Definition halten. Wenn Du eine andere Definition willst, musst Du zeigen, dass diese dann auch zu der "alten" äquivalent ist (jedenfalls unter den gegebenen Voraussetzungen).
Setzt man oben voraus, dass Du eine diff'bare Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hast, dann wären äquivalent:
1.) $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
2.) [mm] $f\,$ [/mm] ist monoton wachsend im Sinne von: Es gilt stets $x < y [mm] \Rightarrow f(x)\; \blue{\le}\;f(y)\,.$
[/mm]
(Dass die Aussagen äquivalent sind, heißt, dass beide Folgerungen: 1.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2.) und 2.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1.) gelten; kurz: 1.) [mm] $\gdw$ [/mm] 2.).)
(Analoges gilt für "monoton fallend" und [mm] "$\blue{\le}$".)
[/mm]
Aber:
Leider gilt, wenn wir die Aussagen
a.) $f'(x)> 0$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
und
b.) [mm] $f\,$ [/mm] ist streng(!!) monoton wachsend im Sinne von: Es gilt stets $x < y [mm] \Rightarrow f(x)\; \blue{<}\;f(y)\,.$
[/mm]
haben nur die Folgerung
a.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b.),
während
b.) [mm] $\red{\Rightarrow}$ [/mm] a.)
(i.a.) falsch ist!
Zugegeben: Das ist schon ein wenig erstaunlich!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich muss jetzt noch einmal fragen - die Frage geht an die Mathematiklehrer unter Euch:
welche Definition, 1.) oder 2.), soll ich denn heute abend an meine Nachhilfeschülerinnen weitergeben; mit welcher sollen wir arbeiten?
Besten Dank für eine Antwort,
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Martinius:
Die Definition für eine streng monoton steigende Funktion ist dies:
1.) Eine Funktion f, die auf einem Intervall I definiert ist, heißt streng monoton wachsend, wenn für alle
$ [mm] x_1,x_2 \in [/mm] $ I mit $ [mm] x_1
Das folgende (2) ist ein beweisbarer Satz. Als Definition ist die Aussage nicht geeignet, weil die Umkehrung nicht gilt, wie das obige Beispiel zeigt. Wegen der fehlenden Umkehrbarkeit kannst Du den Satz auch nicht als Definition verwenden
2.) Gilt für eine differenzierbare Funktion f in einem Intervall I, dass f'(x)>0 für alle x $ [mm] \in [/mm] $ I, dann ist f streng monoton wachsend in I.
Gruß
Sigrid
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