Monotonie < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo,
ich setze mich zum ersten Mal mit Monotonie auseinander. D.h. ich habe bisher kaum Ahnung u. es geht vorangig um den Unterschied zwischen
strenge Monotonie
u.
(nur) Monotonie.
Die Fkt. [mm] x^3+x [/mm] soll streng monoton steigend sein. Ich merkte mir beim Anblick des Graphen: "Streng monoton steig. heißt: OHNE Steig.wechsel"
Die Kriterien sollen aber sein:
(zur Vereinfachg. nehme ich jetzt nur "steigend")
[mm] x_1
[mm] x_1 |
Wenn die Zeile mit dem Zeichen [mm] \le [/mm] vorliegt, ist dann auch immer ein Extremum vorhanden, also ein Steig.wechsel, d.h. Steig. =0?
(oder meinetwegen auch mehrere Steig.wechsel, d.h. Extrema)
Da die Kurve von [mm] x^3+x [/mm] u. der Schluss, den ich daraus zog (strenge Monotonie = ohne Steig.wechsel) kompatibel sein muss mit dem Kriterium für strenge Monotonie - das scheint es aber leider nicht zu sein, weil in meiner Interpretation das Relationszeichen [mm] \le [/mm] gar nicht auftaucht.
Irgendwo hakt es bei mir noch, aber ich weiß nicht wo die " Störung/Behinderg." genau liegt.
Es geht um die Fkt. [mm] f(x)=0,5x^3-2x^2-0,5x+2 [/mm] u. dem Lösungssatz:
Da das Polynom mind. 1 Extremum hat ist sein Graph nicht monoton über den ges. Def.bereich.
Warum heißt es nicht:
Da das Polynom mind. 1 Extremum hat ist sein Graph nicht streng monoton über den ges. Def.bereich.
Ich hoffe sehr, dass jemand da ist, der mir klar machen kann, wie ich den Schlagbaum entfernen kann, damits weitergeht.
Sabine
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:05 Sa 21.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> ich setze mich zum ersten Mal mit Monotonie auseinander.
> D.h. ich habe bisher kaum Ahnung u. es geht vorangig um den
> Unterschied zwischen
> strenge Monotonie
> u.
> (nur) Monotonie.
>
> Die Fkt. [mm]x^3+x[/mm] soll streng monoton steigend sein. Ich
> merkte mir beim Anblick des Graphen: "Streng monoton steig.
> heißt: OHNE Steig.wechsel"
Der Unterschied ist, dass bei der Monotonie eine Tangentensteigung von 0 an einigen Stellen zugelassen ist, bei der strengen Monotonie eben nicht.
Ein Sattelpunkt wäre eine Stelle, an der die Steigung tendenziell keinen Wechsel vornimmt, aber die Steigung am Sattelpunkt ist eben Null, also ist die Funktion dort eben "nur" Monoton steigend.
>
> Die Kriterien sollen aber sein:
> (zur Vereinfachg. nehme ich jetzt nur "steigend")
> [mm]x_1
> [mm]x_1
> Wenn die Zeile mit dem Zeichen [mm]\le[/mm] vorliegt, ist dann auch
> immer ein Extremum vorhanden, also ein Steig.wechsel, d.h.
> Steig. =0?
Nicht zwingend, am Sattelpunkt gilt eben auch f'(x)=0, aber dort hast du kein Extremum. Daher ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt (entweder Vorzeichenwechselkriterium oder 2. Ableitung ungleich Null) so eminent wichtig.
> (oder meinetwegen auch mehrere Steig.wechsel, d.h.
> Extrema)
>
> Da die Kurve von [mm]x^3+x[/mm] u. der Schluss, den ich daraus zog
> (strenge Monotonie = ohne Steig.wechsel) kompatibel sein
> muss mit dem Kriterium für strenge Monotonie - das scheint
> es aber leider nicht zu sein, weil in meiner Interpretation
> das Relationszeichen [mm]\le[/mm] gar nicht auftaucht.
Umso besser:
f(x)=x³+x hat die Ableitung f'(x)=3x²+1 und diese Ableitung ist immer echt größer als Null, also ist f(x) streng monoton steigend.
> Irgendwo hakt es bei mir noch, aber ich weiß nicht wo die
> " Störung/Behinderg." genau liegt.
>
> Es geht um die Fkt. [mm]f(x)=0,5x^3-2x^2-0,5x+2[/mm] u. dem
> Lösungssatz:
> Da das Polynom mind. 1 Extremum hat ist sein Graph nicht
> monoton über den ges. Def.bereich.
> Warum heißt es nicht:
> Da das Polynom mind. 1 Extremum hat ist sein Graph nicht
> streng monoton über den ges. Def.bereich.
Strenge Monotonie ist "schärfer", aus strenger Monotonie folgt auch "einfache" Monotonie. Wenn eine Funktion nicht monoton ist, kann sie also auch nicht streng monoton sein.
Und an einem Extrempunkt ändert sich die Steigung, also auch die Monotonie.
>
> Ich hoffe sehr, dass jemand da ist, der mir klar machen
> kann, wie ich den Schlagbaum entfernen kann, damits
> weitergeht.
> Sabine
>
Schau aber auch mal bei ![[]](/images/popup.gif) Poenitz-net vorbei, dort findest du eine gute Übersicht über die Mathematischen Zusammenhänge. Für dieses Thema dürfte dann das Kapitel Analysis, insbesondere Kapitel 5.3 interessant sein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marius,
nochmals vielen DANK für deine Antw.!
Ich habs jetzt:
Du schriebst: "Der Unterschied ist, dass bei der Monotonie eine Tangentensteigung von 0 an einigen Stellen zugelassen ist"
Und ich machte daraus (mit anderer Hilfe):
Entweder ist an einer Intervallgrenze ein Extremum vorhanden oder an beiden Intervallgrenzen re u. li zwei Extrema vorhanden oder es gibt irgendwo im Intervall (oder auch an einer der beiden Grenzen re u. li) einen Sattelpkt.
> f(x)=x³+x hat die Ableitung f'(x)=3x²+1 und diese
> Ableitung ist immer echt größer als Null, also ist f(x)
> streng monoton steigend.
Interessant, dass man auch bei Monotonieuntersuchg. es manchmal auch mit der Ableitg. machen kann u. nicht nur mit den Kriterien f. die beiden Monotoniesorten (strenge M u. nur M).
Konkret: Wenn die 1.te Ableitg. nie Null ist, dann kann der ges. Graph nur streng monoton sein. (zumind. bezog. auf die gz-rat.Fkt.)
Sehr schön! DANKE
Wie sieht denn ein Graph aus, der weder monoton, noch streng monoton ist? Bei Polynomen ist das vermutl. nie der Fall oder?
Liebe Grüße
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 11:41 Sa 28.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> nochmals vielen DANK für deine Antw.!
> Ich habs jetzt:
> Du schriebst: "Der Unterschied ist, dass bei der Monotonie
> eine Tangentensteigung von 0 an einigen Stellen zugelassen
> ist"
> Und ich machte daraus (mit anderer Hilfe):
> Entweder ist an einer Intervallgrenze ein Extremum
> vorhanden oder an beiden Intervallgrenzen re u. li zwei
> Extrema vorhanden oder es gibt irgendwo im Intervall (oder
> auch an einer der beiden Grenzen re u. li) einen
> Sattelpkt.
Das ist sehr verwirrend ausgedrückt, aber korrekt.
Wichtig ist, dass inerhalb des betrachteten Intervalls keine lokalen Extrempunkte liegen, denn dort ändert sich die Monotonie. Für strenge Monotonie ist nicht einmal ein Sattelpunkt erlaubt.
>
> > f(x)=x³+x hat die Ableitung f'(x)=3x²+1 und diese
> > Ableitung ist immer echt größer als Null, also ist f(x)
> > streng monoton steigend.
> Interessant, dass man auch bei Monotonieuntersuchg. es
> manchmal auch mit der Ableitg. machen kann u. nicht nur mit
> den Kriterien f. die beiden Monotoniesorten (strenge M u.
> nur M).
Das ist meistens sogar die einfachere Version, denn die Ableitung ist meistens recht schnell bestimmt, erst recht bei ganzrationalen Funktionen.
> Konkret: Wenn die 1.te Ableitg. nie Null ist, dann kann
> der ges. Graph nur streng monoton sein. (zumind. bezog. auf
> die gz-rat.Fkt.)
Ja, bei ganzrationalen Funktionen ist das so.
> Sehr schön! DANKE
>
> Wie sieht denn ein Graph aus, der weder monoton, noch
> streng monoton ist? Bei Polynomen ist das vermutl. nie der
> Fall oder?
Polynome sind in der Tat immer Monoton, du kannst ja ui jedem Punkt die Steigung berechnen. An den (lokalen) Extrema ändert sich die Monotonie aber.
Eine Konstante Funktion der Form f(x)=c ist nur monoton, sie wäre sogar monoton steigend und fallend gleichzeitig.
>
> Liebe Grüße
> Sabine
>
Marius
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Der Unterschied ist, dass bei der Monotonie eine Tangentensteigung von 0 an einigen Stellen zugelassen ist, bei der strengen Monotonie eben nicht. (M.Rex)
Das ist falsch. Die Steigung an einer einzelnen Stelle sagt überhaupt nichts über die Monotonie aus. Die Monotonie ist eine Eigenschaft auf einem Intervall [mm]I[/mm], nicht an einer Stelle.
So ist z.B. die Funktion [mm]f(x) = x^3[/mm] über ganz [mm]I = \mathbb{R}[/mm] streng monoton wachsend, obwohl [mm]f'(0)=0[/mm] ist.
Polynome sind in der Tat immer Monoton, du kannst ja ui jedem Punkt die Steigung berechnen. An den (lokalen) Extrema ändert sich die Monotonie aber. (M.Rex)
Hier scheint eine völlig falsche Vorstellung des Monotoniebegriffs vorzuliegen. Zur Erläuterung ein Beispiel:
[mm]f(x) = \frac{1}{100}x^5 - \frac{1}{80}x^4 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{10}x^2 + \frac{6}{5}x \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Dieses [mm]f[/mm] ist
im Intervall [mm](-\infty,2][/mm] streng monoton wachsend (obwohl [mm]f'(-2)= 0[/mm] ist)
im Intervall [mm][2,3][/mm] streng monoton fallend
im Intervall [mm][3,\infty)[/mm] streng monoton wachsend
Ein nichttriviales Beispiel für eine Funktion, die monoton, aber nicht streng monoton ist, wäre die Funktion [mm]g[/mm] mit
[mm]g(x) = \begin{cases} 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 & \mbox{für} \ 0 \leq x < 1 \\ 1 & \mbox{für} \ 1 \leq x < 2 \end{cases}[/mm]
die durch die Funktionalgleichung [mm]g(x+2) = g(x) + 1[/mm] auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] fortgesetzt werde. Global gesehen, ist [mm]g[/mm] monoton wachsend. Auf den Intervallen [mm][2k,2k+1][/mm], [mm]k[/mm] ganz, ist [mm]g[/mm] streng monoton wachsend, auf den Intervallen [mm][2k-1,2k][/mm], [mm]k[/mm] ganz, konstant.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aussagen über Monotonie sind daher immer von folgender Gestalt:
[mm]f[/mm] ist auf dem Intervall Soundso (streng) monoton wachsend/fallend.
Wenn das Intervall nicht angegeben wird, ist immer der ganze Definitionsbereich gemeint (der in diesem Zusammenhang natürlich ein Intervall sein muß). Aussagen der Art "[mm]f[/mm] ist an der Stelle Soundso (streng) monoton wachsend/fallend" sind sinnlos.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:59 Mo 30.07.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Moin zusammen!
Meines Erachtens hast Du, Leopold, den Marius falsch verstanden. Der wollte bestimmt nicht eine Monotonie an einem Punkt festmachen, sondern lediglich aussagen, daß bei Monotonie das Intervall Punkte enthalten kann, an welchen die Steigung Null vorliegt.
Sein von Dir zitierter Satz besagt auch nichts anderes und ist korrekt formuliert.
Niemand betrachtet nur einen Punkt und schlußfolgert daraus auf irgendwelche Monotonien.
> So ist z.B. die Funktion [mm]f(x) = x^3[/mm] über ganz [mm]I = \mathbb{R}[/mm] streng monoton wachsend, obwohl [mm]f'(0)=0[/mm] ist.
Das ist nach meinen Dafürhalten falsch. Genau aus dem Grund, daß die Steigung bei [mm]x=0[/mm] Null ist, erfüllt die Funktion nicht das Kriterium für strenge Monotonie, sondern nur für Monotonie.
> > Polynome sind in der Tat immer Monoton, du kannst ja ui jedem Punkt die Steigung berechnen. An den (lokalen) Extrema ändert sich die Monotonie aber. (M.Rex)
> Hier scheint eine völlig falsche Vorstellung des Monotoniebegriffs vorzuliegen.
Hier hat sich Marius etwas unglücklich ausgedrückt. Sein nächster Satz:
> An den (lokalen) Extrema ändert sich die Monotonie aber.
stellt seine Aussage jedoch klar. Er meinte offensichtlich:
Da Polynome ausnahmslos stetig sind, kann für jedes Polynom eine endliche Anzahl von Intervallen angegeben werden, auf welchen das Polynom (streng) monoton ist. Daß diese Monotonien dann (bei entsprechender Intervall-Festlegung) abwechselnd steigend und fallend sind, ist wohl klar.
Und abschließend:
Wenn Du den ersten Post von Sabine gelesen hättest, würdest Du wahrscheinlich erkennen, daß Dein nichttriviales Beispiel - so schön es auch ist - hier nicht zielführend ist.
Gruß - Marx.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:18 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > So ist z.B. die Funktion [mm]f(x) = x^3[/mm] über ganz [mm]I = \mathbb{R}[/mm]
> streng monoton wachsend, obwohl [mm]f'(0)=0[/mm] ist.
> Das ist nach meinen Dafürhalten falsch. Genau aus dem
> Grund, daß die Steigung bei [mm]x=0[/mm] Null ist, erfüllt die
> Funktion nicht das Kriterium für strenge Monotonie,
> sondern nur für Monotonie.
das ist leider falsch. [mm] f(x)=x^3 [/mm] ist bijektiv und daher (wegen der gleichzeitig vorliegenden Stetigkeit) streng monoton steigend. Die Korrekturmitteilungen von Leopold_Gast sind hier berechtigt. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:28 Mo 30.07.2012 | | Autor: | KarlMarx |
O.k., stimmt. Mein Fehler.
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