Monotonie Riemann-Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $f$ und $g$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar und es gelte $f(x) < g(x)$ auf $[a,b]$. Dann gilt [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] < [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx}$. [/mm] |
Ich habe in einem Analysis-Buch obenstehende Aufgabe gefunden und mir fehlt die entscheidende Idee. Der Satz ist in ähnlicher Form unter dem Begriff "Monotonie des Riemann-Integrals" bekannt, alledings in der abgeschwächten Form:
$f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x) dx}$.
[/mm]
Der Beweis ist nicht sonderlich kompliziert. Man kann es z.B. mit Darboux-Untersummen machen und da gilt [mm] $\inf [/mm] f [mm] \le \inf [/mm] g$ folgt sofort die Behauptung.
Leider kann man m.E. im Beweise des Satzes über die Monotonie des Riemann-Integrals nicht einfach das [mm] $\le$ [/mm] durch $<$ ersetzen, da aus $f(x) < g(x)$ nur folgt daß $ [mm] \inf [/mm] f [mm] \le \inf [/mm] g $.
Habt Ihr eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rennradler,
berichtige bitte zuerst in deinem Profil deine Angaben
betr. "Mathematischer Background".
Anschließend können wir weiter diskutieren.
LG Al-Chw,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 11.04.2011 | | Autor: | rennradler |
Ok, ich habe es rausgenommen - eine für mich wirklich passende Kategorie gibt es leider nicht.
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Huhu,
zeige zuerst: Sei h>0, dann auch [mm] $\integral_a^b\, h(x)\; [/mm] dx > 0$
Und dann führe deine Aufgabe darauf zurück 
MFG,
Gono.
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Wie soll mich das weiterbringen? Das ist nur eine Umformulierung des Problems. Dann lautet mein zentrales Problem, daß aus $h(x) > 0$ nur folgt [mm] $\inf [/mm] h [mm] \ge [/mm] 0$.
Das Frage lautet doch, könnte es nicht eine Funktion geben für die $ h(x) > 0 $ auf $ [a,b] $ gilt und trotzdem auf jedem Teilintervall $ [mm] \inf [/mm] h = 0 $? Und wenn es sie gibt, wie kann ich ausschließen, daß sie Riemann-integrierbar ist?
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Huhu,
mir fallen da spontan zwei Dinge ein:
1.) Du zeigst unter der Annahme [mm] $h\ge [/mm] 0$ dass [mm] $\integral_a^b [/mm] h(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] h = 0$ (Kontraposition)
2.) Du nimmst an h Riemann-Integrierbar, [mm] $\inf [/mm] h = 0$ auf jedem Teilintervall und folgerst daraus sofort mithilfe der Untersumme [mm] $\integral_a^b [/mm] h(x) dx = 0$
edit: Die zweite Aussage bringt dich natürlich nicht im geringsten weiter, wie mir gerade auffällt. Du müsstest bei 2. natürlich folgern $h=0$ um einen Widerspruch zu bekommen.
Bleibt ja noch 1.)
MFG,
Gono
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Naja Kontraposition wäre "Aus nicht B folgt nicht A"
Es wäre also zu zeigen:
[mm] $\integral_{a}^{b}{h(x) dx} \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \exists x_0 [/mm] : [mm] h(x_0) \le [/mm] 0$
Da kann ich mit Untersummen arbeiten. Dann komme ich aber auf folgendes Problem. bei dem ich wiederum nicht weiterkomme:
Es gelte [mm] $\inf [/mm] h = 0$ für alle Teilintervalle. Wie kann ich daraus folgern, daß es ein [mm] $x_0$ [/mm] gibt, für das [mm] $h(x_0) \le [/mm] 0$ gilt?
Das ist letztendlich genau wieder mein altes Problem in anderer Formulierung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin,
wir zeigen unter Verwendung von [mm] h\geq0, [/mm] dass $ [mm] \integral_a^b [/mm] h(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] h = 0 $ (Kontraposition).
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Aus der Voraussetzung folgt das die Untersumme 0 wird.
Für [mm] a\leq x_1
Es gibt ein [mm] \mu\in[x_1,x_2] [/mm] mit [mm] h(\mu)<\varepsilon \qquad [/mm] (*)
(sonst wird die Untersumme nicht Null, beachte [mm] h\geq0).
[/mm]
Können also Intervallschachtelung [mm] \left(I_{n,\xi}\right)_{n\in\IN} [/mm] um einen beliebigen Punkt [mm] \xi\in[a,b] [/mm] konstruieren mit [mm] I_{n+1,\xi}\subset I_{n,\xi},\quad|I_{n,\xi}|\to0,n\to\infty. [/mm] Für alle Intervalle der Intervallschachtelung gilt (*). Also gilt für den gemeinsamen Punkt [mm] h(\xi)<\varepsilon
[/mm]
Nun [mm] \varepsilon [/mm] klein ...
LG
EDIT: So geht das doch nicht, siehe hier. Ich hab jetzt leider keine Zeit, den Fehler zu suchen. Mach ich später.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
das geht schon so, meine Kontraposition ist nur falsch.
Die Kontraposition für angenommenes [mm] $h\ge [/mm] 0$ wäre eben nicht:
$ [mm] \integral_a^b [/mm] h(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] h = 0 $
Sondern vielmehr:
$ [mm] \integral_a^b [/mm] h(x) = 0 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x: h(x) = 0 $
Und das hast du ja gerade konstruiert......
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Huhu,
>
> das geht schon so, meine Kontraposition ist nur falsch.
>
> Die Kontraposition für angenommenes [mm]h\ge 0[/mm] wäre eben
> nicht:
>
> [mm]\integral_a^b h(x) = 0 \Rightarrow h = 0[/mm]
>
> Sondern vielmehr:
>
> [mm]\integral_a^b h(x) = 0 \Rightarrow \exists x: h(x) = 0[/mm]
>
> Und das hast du ja gerade konstruiert......
Da bin ich nicht sicher. So, wie es oben bei mir steht, könnte man tatsächlich meinen, es wäre [mm] h\equiv0. [/mm] Ich vermute das Problem liegt darin, dass die Eigenschaft (*) der Intervalle der Intervallschachtelung nicht auf den gemeinsamen Punkt übertragbar ist (was mich zugegebenermaßen stark verwundert, weiß das jemand zu erklären?).
Betrachten wir nochmal die Funktion h(a)=123 und h(x)=0, [mm] x\in(a,b] [/mm] und dazu die Intervallschachtelung der [mm] I_n=[a,a+(b-a)/n]. [/mm] Der gemeinsame Punkt der [mm] I_n [/mm] ist a, aber h(a) ist nicht beliebig klein.
> MFG,
> Gono.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 13.04.2011 | | Autor: | rennradler |
Es läuft darauf hinaus, daß $ [mm] \infty [/mm] $ keine Zahl ist.
Betrachte die etwas abgeänderte Beispielfunktion von FRED97: $f(x) = 0$ auf $[0,1]$ ohne ${0.5}$ und $f(0.5) = 1$. Dort kannst Du um 0.5 Deine Intervallschachtelung konstruieren und in jedem Intervall gibt es ein [mm] $\xi$ [/mm] mit [mm] $f(\xi) [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Und in jedem dieser Intervalle ist das Infimum 0. Dennoch ist $f(0.5) [mm] \not= [/mm] 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Falls man Hilfsmittel aus der Lebesgueschen Integrationstheorie heranziehen darf (was wahrscheinlich nicht der Fall ist), kann man so argumentieren:
Ist a<b, h R.- integrierbar über [a,b] und h>0 auf [a,b], so ist [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}>0, [/mm] denn wäre [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}=0, [/mm] so wäre h=0 fast überall auf [a,b], das widerspricht aber der Vor. h>0 auf [a,b],
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mi 13.04.2011 | | Autor: | rennradler |
Hallo FRED,
vielen Dank für die Antwort. In dem Buch wird nur das Riemann-Integral behandelt. Daher sollte die Aufgabe damit zu lösen sein. Leider gibt es in dem Buch keine Lösungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Annahme: $ [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}=0, [/mm] $
Dann gilt für die Funktion H(x):= [mm] \integral_{a}^{x}{h(t) dt}: [/mm]
(*) H [mm] \equiv [/mm] 0 auf [a,b]
nach dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium ( http://euler.iam.uni-bonn.de/~kurzke/ana1/kap8.pdf, Satz 8.14) ist h fast überall stetig.
Sei [mm] x_0 [/mm] ein Stetigkeitspunkt von h. Nach dem Hauptsatz ist [mm] H'(x_0) =h(x_0)>0. [/mm] Das widerspricht aber (*)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 13.04.2011 | | Autor: | rennradler |
Hallo FRED,
ich danke Dir für die Antwort. Das ist eine überzeugende Lösung. Ich glaube zwar nicht, daß diese Lösung von den Autoren vorgesehen war, da in dem Buch das Lebesgueschen Integrabilitätskriterium nicht vorkommt und der Hauptsatz der Diff.- und Int.-Rechnung erst später kommt, aber das ist egal.
Ich betrachte damit die Aufgabe als gelöst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
>
> mir fallen da spontan zwei Dinge ein:
>
> 1.) Du zeigst unter der Annahme [mm]h\ge 0[/mm] dass [mm]\integral_a^b h(x) = 0 \Rightarrow h = 0[/mm]
Das wird nicht funktionieren, denn die Funktion h: [a,b] [mm] \to \IR, [/mm] def. durch
h(a)=123 und h(x)=0 für x [mm] \in [/mm] (a,b],
ist R.-int., h ist [mm] \ge [/mm] o auf [a,b], aber [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}=0
[/mm]
FRED
> (Kontraposition)
>
> 2.) Du nimmst an h Riemann-Integrierbar, [mm]\inf h = 0[/mm] auf
> jedem Teilintervall und folgerst daraus sofort mithilfe der
> Untersumme [mm]\integral_a^b h(x) dx = 0[/mm]
>
> edit: Die zweite Aussage bringt dich natürlich nicht im
> geringsten weiter, wie mir gerade auffällt. Du müsstest
> bei 2. natürlich folgern [mm]h=0[/mm] um einen Widerspruch zu
> bekommen.
> Bleibt ja noch 1.)
>
> MFG,
> Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu fred,
danke für den Hinweis, habs in meiner Mitteilung zu kamaleonti korrigiert
MFG,
Gono.
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