Monotonie, Schranken... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:26 Di 04.06.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jewiels für die Folge und die Teilfolgen
1) [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^{n+3}*\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}
[/mm]
2) [mm] a_{2n} [/mm]
3) [mm] a_{2n+1}
[/mm]
Monotonie, obere bzw. untere Schranke, Infimum, Supremum! |
Moin Moin,
1)
Ich betrachte zunächst die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^{n+3}*\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}
[/mm]
Monotonie: Diese Folge ist nicht monoton, sondern aufgrund des Faktors [mm] (-1)^{n+3} [/mm] alternierend.
n [mm] a_{n}
[/mm]
1 1,00
2 -0,54
3 0,34
4 -0,25
5 0,20
6 -0,16
7 0,14
8 -0,12
9 0,11
Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere Schranken, Infimum und Supremum?
Wenn ich den Grenzwert von [mm] \bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4} [/mm] bilde, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4} [/mm] = 0
Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei 0 liegen und das Supremum bei 1.
Ist das richtig?
2)
Ich betrachte nun die Teilfolge [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] (-1)^{2n+3}*\bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4}
[/mm]
n [mm] a_{2n}
[/mm]
1 -0,54
2 -0,25
3 -0,16
4 -0,12
5 -0,10
6 -0,08
7 -0,07
8 -0,06
9 -0,05
Monotonie: Diese Teilfolge ist streng monoton steigend
Auch hier: Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere Schranken, Infimum und Supremum?
Wenn ich den Grenzwert von [mm] \bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4} [/mm] bilde, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4} [/mm] = 0
Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei -0,54 liegen und das Supremum bei 0.
Ist das richtig?
3)
Ich betrachte nun die Teilfolge [mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] (-1)^{2n+1+3}*\bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4}
[/mm]
n [mm] a_{2n_1}
[/mm]
1 0,33
2 0,20
3 0,14
4 0,11
5 0,09
6 0,08
7 0,07
8 0,06
9 0,05
Monotonie: Diese Teilfolge ist streng monoton fallend
Auch hier: Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere Schranken, Infimum und Supremum?
Wenn ich den Grenzwert von [mm] \bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4} [/mm] bilde, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4} [/mm] = 0
Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei 0 liegen und das Supremum bei 0,33.
Ist das richtig?
Oder wie berechne ich diese Größen??
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist es nun zu spät, das alles genau zu kommentieren. Aber mal vorweg:
> Bestimmen Sie jewiels für die Folge und die Teilfolgen
>
> 1) [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^{n+3}*\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}[/mm]
>
> 2) [mm]a_{2n}[/mm]
>
> 3) [mm]a_{2n+1}[/mm]
>
>
> Monotonie, obere bzw. untere Schranke, Infimum, Supremum!
> Moin Moin,
>
>
> 1)
> Ich betrachte zunächst die Folge [mm]a_n[/mm] =
> [mm](-1)^{n+3}*\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}[/mm]
>
>
> Monotonie: Diese Folge ist nicht monoton, sondern aufgrund
> des Faktors [mm](-1)^{n+3}[/mm] alternierend.
>
> n [mm]a_{n}[/mm]
> 1 1,00
> 2 -0,54
> 3 0,34
Die Begründung für die Nichtmonotonie ist gut, und wenn Du zudem die
ersten drei Folgenglieder, wie hier, hinschreibst, erkennt man auch, dass
sie wirklich passt. Denn eigentlich würde das, was Du oben schreibst, nicht
ausreichen. Für spezielle alternierende Folgen gilt dennoch Monotonie!
Sie werden halt sehr schnell "langweilig" (aber nicht notwendig direkt)!
> 4 -0,25
> 5 0,20
> 6 -0,16
> 7 0,14
> 8 -0,12
> 9 0,11
>
> Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere Schranken,
> Infimum und Supremum?
>
> Wenn ich den Grenzwert von [mm]\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}[/mm]
> bilde, d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}[/mm] = 0
>
> Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei 0 liegen
> und das Supremum bei 1.
>
> Ist das richtig?
>
>
> 2)
> Ich betrachte nun die Teilfolge [mm]a_{2n}[/mm] =
> [mm](-1)^{2n+3}*\bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4}[/mm]
>
> n [mm]a_{2n}[/mm]
> 1 -0,54
> 2 -0,25
> 3 -0,16
> 4 -0,12
> 5 -0,10
> 6 -0,08
> 7 -0,07
> 8 -0,06
> 9 -0,05
>
>
> Monotonie: Diese Teilfolge ist streng monoton steigend
>
> Auch hier: Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere
> Schranken, Infimum und Supremum?
>
> Wenn ich den Grenzwert von
> [mm]\bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4}[/mm] bilde, d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3*(2n)^2-2n+4}{3*(2n)^3-2n+4}[/mm]
> = 0
>
> Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei -0,54
> liegen und das Supremum bei 0.
>
> Ist das richtig?
>
>
> 3)
>
> Ich betrachte nun die Teilfolge [mm]a_{2n+1}[/mm] =
> [mm](-1)^{2n+1+3}*\bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4}[/mm]
>
> n [mm]a_{2n_1}[/mm]
> 1 0,33
> 2 0,20
> 3 0,14
> 4 0,11
> 5 0,09
> 6 0,08
> 7 0,07
> 8 0,06
> 9 0,05
>
>
> Monotonie: Diese Teilfolge ist streng monoton fallend
>
> Auch hier: Wie berechne ich aber nun untere bzw. obere
> Schranken, Infimum und Supremum?
>
> Wenn ich den Grenzwert von
> [mm]\bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4}[/mm] bilde,
> d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3*(2n+1)^2-(2n+1)+4}{3*(2n+1)^3-(2n+1)+4}[/mm]
> = 0
>
> Daraus würde ich folgern, das Infimum würde bei 0 liegen
> und das Supremum bei 0,33.
>
> Ist das richtig?
Beweise Deine Behauptungen, wenn das gelingt, werden sie sicher richtig
sein.
Nur mal nebenbei:
Betrachtet man [mm] $b_n:=\bruch{3n^2-n+4}{3n^3-n+4}\,,$ [/mm] so sieht man
sofort, dass alle [mm] $b_n [/mm] > 0$ sind und
[mm] $$b_{n+1}/b_n [/mm] < 1 [mm] \iff \frac{3(n+1)^2-(n+1)+4}{3(n+1)^3-(n+1)+4}*\frac{3n^3-n+4}{3n^2-n+4} [/mm] < 1 [mm] \iff [/mm] ...$$
kann man sicher nachrechnen (ich mach's mal "untypisch", indem ich
folgendes mache:
Sei [mm] $f(x):=\bruch{3x^2-x+4}{3x^3-x+4}\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $$f\,'(x)=\frac{(6x-1)*(3x^3-x+4)-(3x^2-x+4)*(9x^2-1)}{(...)^2}\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$f\,'(x)=\frac{18x^4-3x^3-6x^2+x+24x-4-(27x^4-3x^2-9x^3+x+36x^2-4)}{(...)^2}=\frac{18x^4-3x^3-6x^2+x+24x-4-27x^4+3x^2+9x^3-x-36x^2+4}{(...)^2}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{18x^4-3x^3-6x^2+x+24x-4-27x^4+3x^2+9x^3-x-36x^2+4}{(...)^2}=\frac{x}{(...)^2}*(-9x^3+6x^2-39x+24)\,,$$
[/mm]
und man sieht so, dass [mm] $f\,'(1) [/mm] < 0$ ist. Ohne Beweis, weil Du das selbst
direkt nachrechnen kannst: Es ist stets $f''(x) < [mm] 0\,.$ [/mm] Daraus folgt, dass $f'$
monoton fallend ist und insbesondere ergibt sich wegen [mm] $f\,'(1) [/mm] < 0$ dann auch
$f'(x) < 0$ für alle $x [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Also ist [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] (streng) fallend!
(Diese Überlegung dürft ihr so natürlich sicher noch nicht anstellen, weil
ihr die nötigen Grundlagen dafür noch nicht zur Verfügung gestellt
bekommen habt!)
Du wirst jedenfalls, wenn Du (für alle [mm] $n\,$) $b_{n+1}/b_n [/mm] < 1$ bewiesen hast,
folgern können, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] (streng) monoton fallend ist. Daraus läßt sich
dann sofort für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=(-1)^{n+3}*b_n=(-1)^n*b_n$ [/mm] etwas über
das Monotonieverhalten von [mm] $(a_{2n})_n$ [/mm] und [mm] $(a_{2n+1})_n$ [/mm] folgern. Du hast
das oben festgestellt, aber bewiesen hast Du bisher noch gar nichts.
Natürlich kannst Du aber auch Deine Feststellungen einfach einzeln
beweisen!
Genaueres jedenfalls jetzt erst nach meiner Nachtruhe; sofern nicht jemand
anderes bis dahin noch mehr dazu geschrieben hat!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Mi 05.06.2013 | | Autor: | hase-hh |
Warte immer noch gespannt auf "Genaueres nach meiner Nachtruhe" ...!?!!
Wenn nach einer oberen / unteren Schranke gefragt wird, ist das dann nicht automatisch das Supremum / Infimum?
Wie soll ich bei der Berechnung / Bestimmung von
Monotonie, Schranken und Supremum / Infimum vorgehen?
Danke & Gute Nacht bzw. einen guten Morgen!! (etwas später)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warte immer noch gespannt auf "Genaueres nach meiner
> Nachtruhe" ...!?!!
ja, sorry, hatte ich vergessen!
> Wenn nach einer oberen / unteren Schranke gefragt wird, ist
> das dann nicht automatisch das Supremum / Infimum?
Nein: Das Supremum ist die kleinste obere Schranke, und das Infimum
die größte untere Schranke!
> Wie soll ich bei der Berechnung / Bestimmung von
>
> Monotonie, Schranken und Supremum / Infimum vorgehen?
Bei der Monotonie (d.h., wenn Du etwa beweisen willst, dass eine Folge
monoton wächst):
Etwa Induktion. Manchmal geht es auch ein wenig einfacher:
Oft kann man etwa
[mm] $\forall [/mm] n:$ [mm] $a_{n+1} \le a_n$
[/mm]
einfach mit
[mm] $\forall [/mm] n:$ [mm] $a_n-a_{n+1} \ge [/mm] 0$
nachrechnen. Unter gewissen "Beachtungen" kann man auch etwa mit
dem Quotienten [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] arbeiten!
Ich mach' Dir jetzt erst mal ein anderes Beispiel vor, an dem es nur um
Supremum und Infimum geht:
Wir betrachten [mm] $x_n:=(-1)^n+\frac{1}{n}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN=\{1,2,3,...\}\,.$
[/mm]
Behautpung: [mm] $\sup\{x_n:\;\; n \in \IN\}=\max\{x_n:\;\;n \in \IN\}=3/2$ [/mm] und
[mm] $\inf\{x_n:\;\; n \in \IN\}=-1\,,$ $\min\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] existiert nicht.
Beweis: Klar ist, dass $-2 [mm] \le x_n \le [/mm] 2$ für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] denn für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
wegen der Dreiecksungleichung:
[mm] $$|x_n| \le |(-1)^n|+|1/n| \le 2\,.$$
[/mm]
Also hat [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] sowohl ein Supremum als auch ein Infimum, denn
[mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] ist durch [mm] $-2\,$ [/mm] nach unten und durch [mm] $2\,$ [/mm] nach oben beschränkt!
Zum Maximum:
Für $n=2$ gilt [mm] $x_2=(-1)^2+1/2=3/2\,.$ [/mm] Für jedes ungerade [mm] $n\,$ [/mm] ist sicherlich
[mm] $x_n=(-1)^n+1/n=-1+1/n \le [/mm] 0 [mm] \le x_2=3/2\,.$ [/mm] Für jedes gerade $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt nun
aber $n [mm] \ge [/mm] 2$ und daher
[mm] $$x_n=(-1)^n+1/n=1+1/n \le 1+1/2=3/2\,.$$
[/mm]
Also folgt [mm] $x_n \le [/mm] 3/2$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und wegen [mm] $3/2=x_2$ [/mm] ist daher [mm] $\max\{x_n:\;\;n \in \IN\}=x_2=3/2\,.$
[/mm]
Da im Falle der Existenz des Maximums dieses auch das Supremum ist, folgt
[mm] $\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}=\max\{x_n:\;\;n \in \IN\}=x_2=3/2\,.$
[/mm]
Zum Infimum:
Für alle geraden [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $x_n=(-1)^n+1/n=1+1/n \ge 0\,,$ [/mm] und für alle ungeraden
[mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $x_n=(-1)^n+1/n=-1+1/n \ge -1\,.$ [/mm]
Daher ist [mm] $-1\,$ [/mm] offenbar eine untere Schranke von [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,.$ [/mm] Um einzusehen,
dass das auch die größte untere Schranke ist, gibt's nun mehrere Möglichkeiten:
1. Man nimmt an, das wäre nicht die größte untere Schranke. Dann gibt es
ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $-1+\epsilon$ [/mm] eine untere Schranke von [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}$
[/mm]
ist. Das führt man zum Widerspruch!
Ich mach' es hier nun anders:
2. Wir zeigen: Jede untere Schranke von [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] ist sicher [mm] $\le -1\,.$ [/mm] Sei dazu
[mm] $u\,$ [/mm] eine untere Schranke von [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,.$ [/mm] Dann gilt $u [mm] \le [/mm] -1+1/(2n-1)$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Wegen $1/(2n-1) [mm] \to [/mm] 0$ folgt dann $u [mm] \le \lim_{n \to \infty} (-1+1/(2n-1))=-1\,.$
[/mm]
(Auch hier muss man nicht notwendig mit dem Limes arbeiten; aber wenn
man es anders macht, macht man eigentlich das Gleiche, wie das, was ich
in 1. vorgeschlagen habe!)
Wir wissen nun also: [mm] $\inf\{x_n:\;\;n \in \IN\}=-1\,.$
[/mm]
Nun zu der Aussage, dass [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] kein Minimum hat: Im Falle
der Existenz des Minimums stimmt dieses mit dem Infimum überein. Der
einzige Kandidat für das Minimum wäre also [mm] $-1\,.$ [/mm] Dann gäbe es also ein
$N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_N=(-1)^N+1/N=-1\,.$ [/mm] Überlege Dir mal selbst, dass das
nicht geht!
So: Wenn Du nun dieses Beispiel komplett verstanden hast, dann sollte es
eigentlich kein großes Problem mehr sein, das Ganze auf Deine Aufgabe
zu übertragen. Eventuell entstehen aber Fragen, und vor allem habe ich
Dir auch nichts direkt zur Monotonie gesagt.
Hier etwa:
[mm] $(x_{2n-1})_n$ [/mm] ist streng monoton fallend.
Beweis:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$x_{2(n+1)-1}-x_{2n-1}=x_{2n+1}-x_{2n-1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+1}-((-1)^{2n-1}+\frac{1}{2n-1})=(-1)+\frac{1}{2n+1}-(-1)-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1} [/mm] < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung!
Alternativ:
Man beachte, dass alle [mm] $x_{2n-1} [/mm] < 0$ sind, dass offenbar [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_3$ [/mm] und es gilt für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$
[mm] $$\frac{x_{2(n+1)-1}}{x_{2n-1}}=...=\frac{-1+\frac{1}{2n+1}}{-1+\frac{1}{2n-1}}=\frac{\frac{-2n}{2n+1}}{\frac{2-2n}{2n-1}}=\frac{2n(2n-1)}{(2n-2)(2n+1)}=\frac{4n^2-2n}{4n^2-2n-2}> 1\,.$$
[/mm]
Nach Multiplikation mit [mm] $x_{2n-1} [/mm] < 0$ folgt
[mm] $$x_{2(n+1)-1} [/mm] < [mm] x_{2n-1}\,.$$
[/mm]
Du siehst aber: Bei der Alternativen muss man sehr vorsichtig sein!
So, jetzt probiere Dich mal selbst an Deiner Aufgabe, indem Du das alles
ausführlich und einigermaßen sauber beweist!
Gruß,
Marcel
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