Monotonie beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 So 14.10.2012 | | Autor: | donna-l |
| Aufgabe | {an} = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
{bn} = [mm] (1-\bruch{1}{n})^{-n}
[/mm]
Ich muss mit Bernoulli beweisen, dass [mm] \bruch{{an}}{{bn}} [/mm] > 1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist und muss zeigen, dass {an} monoton wachsend ist. |
abend zusammen!
hab hier eine aufgabe die ich nicht lösen kann. ich habe begonnen das ganze aufzulösen, bzw einmal die terme der beiden Folgen eingesetzt.
Wie sollte ich das mit der Ungleichung von B. anstellen? [mm] (1+x)^n [/mm] > 1 + nx
muss ich für x den term [mm] \bruch{{an}}{{bn}} [/mm] einsetzen? Wie sollte das funktionieren?
Wäre um jede Hilfe froh.
grüsse, donna-l
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo donna-l,
> {an} = [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
> {bn} = [mm](1-\bruch{1}{n})^{-n}[/mm]
>
> Ich muss mit Bernoulli beweisen, dass [mm]\bruch{{an}}{{bn}}[/mm] >
> 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist und muss zeigen, dass {an} monoton
> wachsend ist.
Ich würde es mal so versuchen, dass du erst mal die Terme für [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] in die Gleichung einsetzt. Dein Term für [mm] $a_n$ [/mm] sieht ja schon fast so aus, wie die linke Seite der Bernoulli-Ungleichung. Diese kannst du dann verwenden und mit dem Teil von [mm] $b_n$ [/mm] musst du noch ein bisschen rumspielen. Ich denke das könnte gehen:
[mm] $\frac{a_n}{b_n}=(1+\frac1n)^n \cdot (1-\frac1n)^n [/mm] > [mm] (1+n\cdot \frac1n )\cdot (1-\frac1n)^n [/mm] = ... > ... = ...$
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 15.10.2012 | | Autor: | donna-l |
Vielen Dank für deine Antwort pits!
Könntest du mir erläutern, wie du die Terme in die Ungleichung von Bernoulli eingesetzt hast? also das [mm] (1+x)^n [/mm] ist ja die linke Seite der Gleichung. Muss man nun nicht für x den Wert von {an} einsetzen und für die rechte Seite: 1+nx den Wert von {bn})?
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Hallo donna-l,
> Vielen Dank für deine Antwort pits!
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> Könntest du mir erläutern, wie du die Terme in die
> Ungleichung von Bernoulli eingesetzt hast? also das [mm](1+x)^n[/mm]
> ist ja die linke Seite der Gleichung. Muss man nun nicht
> für x den Wert von {an} einsetzen und für die rechte
> Seite: 1+nx den Wert von {bn})?
Pits hat die Bernoulli-Ungleichung nur auf den ersten Faktor, also auf [mm]a_n[/mm] angewandt:
[mm]a_n=\red{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ > \ 1+n\cdot{}\frac{1}{n}\ \ = \ 2[/mm]
Hier ist also die 1 die 1 und dem x entspricht das [mm]\frac{1}{n}[/mm]
Insgesamt also [mm]\frac{a_n}{b_n}=\red{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \ \red{>} \ \red{\left(1+n\cdot{}\frac{1}{n}\right)}\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \ = \ 2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Aber das scheint mir auf einen schnellen Blick nicht zielführend, vllt. ist der Weg in meiner anderen Antwort "einsichtiger" ?!
Vllt. übersehe ich bei Pits' Weg auch nur etwas ganz Augenscheinliches ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo zusammen
> Pits hat die Bernoulli-Ungleichung nur auf den ersten
> Faktor, also auf [mm]a_n[/mm] angewandt:
genau, das war der erste Schritt.
> Insgesamt also
> [mm]\frac{a_n}{b_n}=\red{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \ \red{>} \ \red{\left(1+n\cdot{}\frac{1}{n}\right)}\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \ = \ 2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
und dann hatte ich mir weiter gedacht:
[mm] \ 2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = 2\cdot \left(1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac1n\right)^{n-1}\geq 2\cdot \left(1-\frac{1}{n} \right) \left( 1- (n-1)\frac1n\right)[/mm]
und für [mm] $n\geq [/mm] 2$ müsste das dann dem gesuchten entsprechen.
Gruß
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
aber ich sehe gerade, das passt mit den Ungleichheitszeichen nicht so wie es soll - Entschuldigung nicht ganz zu Ende gedacht.
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 16.10.2012 | | Autor: | donna-l |
danke für deine Hilfe.
In diesem fall ist ja zu zeigen dass:
[mm] 2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n [/mm] > 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
enspricht. Dies stimmt ja.
Und wie folgere ich daraus, dass {an} monoton wachsend ist? einfach, dass jedes Folgeglid grösser als das andere ist?
Und wenn ich das ganze für {bn} anwenden würde, trage ich einfach den Wert von bn in die Bernoulli-Gleichung ein und löse es auf und schaue, dass es 1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Di 16.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass eine Folge wachsend ist zeigt man durch [mm] a_{n+1}-a–n>0 [/mm] oder [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] >1 eines ist hier deutlich einfacher als das andere.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Di 16.10.2012 | | Autor: | pits |
HI donna-l
Danke für die Rückmeldung!
> [mm]2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm] > 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> enspricht. Dies stimmt ja.
Das stimmt leider nicht. Z.B. für n=3 schon nicht. Daher ist der andere Lösungsweg (ich glaube von reverend) deutlich besser 
Zur Monotonie hast du ja schon einen guten Tipp.
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 17.10.2012 | | Autor: | donna-l |
Es tut mir echt leid, aber ich komm immer noch nicht auf die Lösung.
Wir haben ja die zwei Zahlen an und bn....
nun muss ich mit den Ungleichung von Bernoulli zeigen, dass
an / bn > 1 - 1/n
ist. Und ich muss folgern, dass an monoton wachsend ist.
Ihr setzt für das die Zahl "an" ein und einen Wert kleinergleich 2 ein. Da ist doch nocht nichts bewiesen? muss man da denn schlussendlich nicht zeigen, dass an > an+1 ist?
es tut mir leid, dass ich das nicht begreiffe, aber es scheint sehr verwirrend die vielen versch. Lösungswege...
grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Donna-I,
einer meiner Lieblingsformeln ist [mm] $(x+y)*(x-y)=x^2-y^2$. [/mm] Wenn Du Dir jetzt [mm] $a_n/b_n$ [/mm] anschaust und diese Formel anwendest und weiter mit Bernoulli abschätzt, bist Du mit dem ersten Teil fertig.
Für die Monotonie von [mm] $a_n$ [/mm] zeigst Du am besten [mm] $a_n/a_{n+1} [/mm] < 1$. Aber auch diese Ungleichung fällt nicht vom Himmel. Auf jeden Fall darfst Du Bernoulli nicht "zu früh" anwenden, etwa nur auf [mm] $a_{n+1}\;.$ [/mm] Versuch mal ...
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 17.10.2012 | | Autor: | donna-l |
Dann komm ich auf:
[mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] > [mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n})
[/mm]
kann ich kürzen zu
[mm] (\bruch{(n-1)}{n})^n [/mm] > [mm] (1+\bruch{1}{n})
[/mm]
Wo hätte ich denn (x+y)*(x-y) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] anweden sollen?
Die muss ich nun mit der Ungleichung von Bernoulli abschätzen? Also
einsetzen in:
[mm] (1+x)^n [/mm] > 1 + n*x
(1 + [mm] \bruch{n-1}{n})^n [/mm] > [mm] (1+n*(1+\bruch{1}{n}))
[/mm]
so? dann sind wir doch wieder gleich weit wie vorher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Dann komm ich auf:
>
> [mm](\bruch{n+1}{n})^n[/mm] * [mm](\bruch{n-1}{n})^n[/mm] > [mm](\bruch{n+1}{n})^n[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm]
Dies ist falsch abgeschätzt. Aber erstmal Potenzgesetze anwenden:
[mm] $=\left(\frac {n+1} n *\frac {n-1} n\right)^n [/mm] = [mm] \left(\frac {n^2 - 1} {n^2}\right)^n=\left(1-\frac 1 {n^2}\right)^n$ [/mm] und jetzt Bernoulli...
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mi 17.10.2012 | | Autor: | donna-l |
Ah... im getting closer! Danke Wolfgang.
Also:
[mm] ((1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] > (1 + n * [mm] \bruch{-1}{n^2} [/mm] = (1- [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
umgeformt ist es ja nun. aber gross etwas daraus schlissen kann ich ja noch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ah... im getting closer! Danke Wolfgang.
> Also:
>
> [mm]((1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] > (1 + n * [mm]\bruch{-1}{n^2}[/mm] = (1-
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
>
> umgeformt ist es ja nun. aber gross etwas daraus schlissen
> kann ich ja noch nicht.
Im ersten Teil solltest Du doch [mm] $a_n/b_n [/mm] > [mm] 1-\frac [/mm] 1 n$ zeigen, und just das haben wir gemacht!
Oder habe ich was falsch verstanden?
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Do 18.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Ah... im getting closer! Danke Wolfgang.
> > Also:
> >
> > [mm]((1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] > (1 + n * [mm]\bruch{-1}{n^2}[/mm] = (1-
> > [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
> >
> > umgeformt ist es ja nun. aber gross etwas daraus schlissen
> > kann ich ja noch nicht.
>
> Im ersten Teil solltest Du doch [mm]a_n/b_n > 1-\frac 1 n[/mm]
> zeigen, und just das haben wir gemacht!
>
Für die Monotonie zeigen wir [mm] $\frac {a_n} {a_{n+1}} [/mm] < 1 [mm] \;.$ [/mm] Hierzu erweiterst Du den Bruch mit [mm] $b_{n+1}$, [/mm] schätzt mit [mm] $\frac {b_{n+1}} {a_{n+1}} [/mm] < [mm] (1-1/(n+1))^{-1}$ [/mm] ab und vereinfachst das Ergebnis bist Du auf 1 kommst.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo donna-l und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> {an} = [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
> {bn} = [mm](1-\bruch{1}{n})^{-n}[/mm]
>
> Ich muss mit Bernoulli beweisen, dass [mm]\bruch{{an}}{{bn}}[/mm] > 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist und muss zeigen, dass {an} monoton
> wachsend ist.
> abend zusammen!
>
> hab hier eine aufgabe die ich nicht lösen kann. ich habe
> begonnen das ganze aufzulösen, bzw einmal die terme der
> beiden Folgen eingesetzt.
>
> Wie sollte ich das mit der Ungleichung von B. anstellen?
> [mm](1+x)^n[/mm] > 1 + nx
> muss ich für x den term [mm]\bruch{{an}}{{bn}}[/mm] einsetzen? Wie
> sollte das funktionieren?
>
> Wäre um jede Hilfe froh.
Na, hast du mal [mm]\frac{a_n}{b_n}[/mm] hingeschrieben?
Bedenke, dass du [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] schreiben kannst als [mm]a_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n[/mm] und [mm]b_n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{-n}[/mm]
Nun schreibe mal [mm]\frac{a_n}{b_n}[/mm] hin, dann fällt es dir sicher auf ....
>
> grüsse, donna-l
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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