Monotonie einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:33 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | In welchen Intervallen ist f(x) (streng) monoton fallend / wachsend?
In welchen Intervallen ist f(x) konvex / konkav?
a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
Hinweis: Argumentieren Sie mit 1. bzw. 2. Ableitung |
die ableitung habe ich zum größten teil:
a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
[mm]f(x)'=2x-4[/mm]
[mm]f(x)''=2[/mm]
- - - - - - - - - - - - - - -
b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
[mm]f(x)'=\bruch{1}{2}x^2-\bruch{5}{2}x+2[/mm]
[mm]f(x)''=x-\bruch{5}{2}[/mm]
- - - - - - - - - - - - - - -
c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
[mm]f(x)'=-e^{-x}[/mm]
[mm]f(x)'' = ??[/mm] könnte ich nur raten...
zur monotonie kann nur folgendes wiedergeben:
f ist monoton steigen, falls [mm]x_1
f ist streng ... usw.
doch ich weiß nicht, wie ich das anwenden muss.
welche funktionswerte muss ich denn vergleichen?
und zur konvex / konkav kann ich im moment überhaupt nix sagen. *schäm*
aber kuck ich mir morgen mal bei wikipedia an.
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Hallo dicentra,
> In welchen Intervallen ist f(x) (streng) monoton fallend /
> wachsend?
> In welchen Intervallen ist f(x) konvex / konkav?
>
> a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
>
> c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
>
> Hinweis: Argumentieren Sie mit 1. bzw. 2. Ableitung
> die ableitung habe ich zum größten teil:
>
> a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
>
> [mm]f(x)'=2x-4[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f(x)''=2[/mm]
>
> - - - - - - - - - - - - - - -
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
>
> [mm]f(x)'=\bruch{1}{2}x^2-\bruch{5}{2}x+2[/mm]
>
> [mm]f(x)''=x-\bruch{5}{2}[/mm]
>
> - - - - - - - - - - - - - - -
>
> c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
>
> [mm]f(x)'=-e^{-x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier musst du schon gem. der Produktregel ableiten!
>
> [mm]f(x)'' = ??[/mm] könnte ich nur raten...
>
>
> zur monotonie kann nur folgendes wiedergeben:
> f ist monoton steigen, falls [mm]x_1
> f ist streng ... usw.
>
> doch ich weiß nicht, wie ich das anwenden muss.
> welche funktionswerte muss ich denn vergleichen?
Was sagt denn der Hinweis?
Begründen Sie mit der 1./2.Ableitung
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen Monotonie und 1.Ableitung?
Ist für alle [mm] $x\in [/mm] I$, $I$ ein Intervall, $f'(x)>0$, so ist $f$ auf $I$ streng monoton wachsend und ist für alle [mm] $x\in [/mm] J$, $J$ ein Intervall, $f'(x)<0$, so ist $f$ auf $J$ streng monoton fallend.
Das untersuche hier!
>
> und zur konvex / konkav kann ich im moment überhaupt nix
> sagen. *schäm*
> aber kuck ich mir morgen mal bei wikipedia an.
Ja, oder im Skript, suche nach dem Zusammenhang von "konvex/konkav" und 2.Ableitung!
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
> > In welchen Intervallen ist f(x) (streng) monoton fallend /
> > wachsend?
> > In welchen Intervallen ist f(x) konvex / konkav?
> >
> > a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
> >
> > b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
> >
> > c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
> >
> > Hinweis: Argumentieren Sie mit 1. bzw. 2. Ableitung
> > die ableitung habe ich zum größten teil:
> >
> > a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
> >
> > [mm]f(x)'=2x-4[/mm]
> >
> > [mm]f(x)''=2[/mm]
> >
> > - - - - - - - - - - - - - - -
> >
> > b) [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{5}{4}x^2+2x+3[/mm]
> >
> > [mm]f(x)'=\bruch{1}{2}x^2-\bruch{5}{2}x+2[/mm]
> >
> > [mm]f(x)''=x-\bruch{5}{2}[/mm]
> >
> > - - - - - - - - - - - - - - -
> >
> > c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
> >
> > [mm]f(x)'=-e^{-x}[/mm]
>
> Hier musst du schon gem. der Produktregel ableiten!
>
> >
> > [mm]f(x)'' = ??[/mm] könnte ich nur raten...
> >
> >
> > zur monotonie kann nur folgendes wiedergeben:
> > f ist monoton steigen, falls [mm]x_1
> > f ist streng ... usw.
> >
> > doch ich weiß nicht, wie ich das anwenden muss.
> > welche funktionswerte muss ich denn vergleichen?
>
> Was sagt denn der Hinweis?
>
> Begründen Sie mit der 1./2.Ableitung
>
> Was weißt du über den Zusammenhang zwischen Monotonie und
> 1.Ableitung?
>
> Ist für alle [mm]x\in I[/mm], [mm]I[/mm] ein Intervall, [mm]f'(x)>0[/mm], so ist [mm]f[/mm] auf
> [mm]I[/mm] streng monoton wachsend und ist für alle [mm]x\in J[/mm], [mm]J[/mm] ein
> Intervall, [mm]f'(x)<0[/mm], so ist [mm]f[/mm] auf [mm]J[/mm] streng monoton fallend.
>
> Das untersuche hier!
>
mmh, ich weiß zwar nicht was ich genau mache *g*,
aber ich brauche scheinbar ein intervall.
nehme ich die erste ableitung und stelle sie nach x um und setze ich für x=2 ein kommt null raus. ich sage einfach mal folgendes:
im intervall [mm] (2,\infty) [/mm] ist a) streng monoton steigend.
im intervall [mm] [2,\infty) [/mm] ist a) monoton steigend?
im intervall [mm] (2.5,\infty) [/mm] ist b) streng monoton steigend. (2.ableitung)
im intervall [mm] [2.5,\infty) [/mm] ist b) streng monoton steigend?
nochmal die ableitung zu c)
c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
[mm]f(x)'=e^{-x}+x(-e^{-x})[/mm]
[mm]f(x)''=-e^{-x}+e^{-x}+x(e^{-x})[/mm] aber auch nur halb geraten...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
[mm]f:\forall x_{0}, x_{1} \in D: f(x_{0})/\ge)f(x_{1})\gdw Monotonie![/mm]
Gilt nun:
[mm]f'(x)<0(bzw. >0) \forall x \in D \rightarrow Monotonie![/mm]
Im Übrigen, glaube ich, wäre es besser, wenn du versuchst es allgemein zu beweisen. Einsetzen hilft dir nicht viel weiter, denn das wäre nur ein beweis für dieses eine [mm]x[/mm].
Zur Konvexität/Konkavität:
Gilt: [mm]f''(x)\ge 0 \rightarrow Konvexität (linksgekrümmt)[/mm]
Gilt: [mm]f''(x)\le 0 \rightarrow Konkavität (rechtsgekrümmt)[/mm]
Ich hoffe, dass das, mit dem meines Vorredners, helfen sollte, die Aufgabe zu lösen ;)
Viele Grüße,
Dath
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> Zur Konvexität/Konkavität:
> Gilt: [mm]f''(x)\ge 0 \rightarrow Konvexität (linksgekrümmt)[/mm]
>
> Gilt: [mm]f''(x)\le 0 \rightarrow Konkavität (rechtsgekrümmt)[/mm]
damit kann ich wohl was anfangen, danke.
doch bringt mich das andere nicht weiter,
habe eine lösung und wäre für verbesserungen in direktem bezug dankbar.
gruß
dic
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Hallo nochmal,
> mmh, ich weiß zwar nicht was ich genau mache *g*,
Das ist nicht gut, solltest du abstellen 
> aber ich brauche scheinbar ein intervall.
>
> nehme ich die erste ableitung und stelle sie nach x um und
> setze ich für x=2 ein kommt null raus.
> ich sage einfach mal
> folgendes:
>
> im intervall [mm](2,\infty)[/mm] ist a) streng monoton steigend.
> im intervall [mm][2,\infty)[/mm] ist a) monoton steigend?
du hast berechnet, dass bei $x=2$ die Ableitung 0 ist, wie sieht's links bzw. rechts von 2 aus? Wie ist's also mit zb f'(3) oder f'(1)
Überdenke das nochmal, dann sind die Monotonieintervalle klar und auch die Art der Monotonie ..
>
> im intervall [mm](2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton steigend.
> (2.ableitung)
> im intervall [mm][2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton steigend?
Die erste Ableitung ist doch ein quadratischer Ausdruck, schreibe die zu lösende Ungleichung nochmal hin und versuche den quadratischen Ausdruck der Ableitung zu faktorisieren, also als Produkt zu schreiben.
Bedenke, dass ein Produkt [mm] $a\cdot{}b>0$ [/mm] ist, wenn entweder $a>0$ UND $b>0$ oder $a<0$ UND $b<0$
Noch ein Kontrolltipp: die Funktion in (b) ist in 2 Intervallen steigend, in einem Intervall fallend ...
> nochmal die ableitung zu c)
>
> c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
>
> [mm]f(x)'=e^{-x}+x(-e^{-x})[/mm]
[mm] $=e^{-x}\cdot{}(1-x)$
[/mm]
> [mm]f(x)''=-e^{-x}+e^{-x}+x(e^{-x})[/mm] aber auch nur halb
> geraten...
ja, nicht gut, lieber berechnen statt erraten, entweder meinen zusammengefassten Ausdruck [mm] $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ [/mm] gem. Produktregel ableiten oder deinen Ausdruck [mm] $f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}$ [/mm] mit Summen- und Produktregel ableiten (den hinteren Teil hast du ja quasi schon bis auf das VZ in der 1.Ableitung berechnet)
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 15.12.2008 | | Autor: | dicentra |
hallo
> > nehme ich die erste ableitung und stelle sie nach x um und
> > setze ich für x=2 ein kommt null raus.
>
> > im intervall [mm](2,\infty)[/mm] ist a) streng monoton steigend.
>
> > im intervall [mm][2,\infty)[/mm] ist a) monoton steigend?
>
> du hast berechnet, dass bei [mm]x=2[/mm] die Ableitung 0 ist, wie
> sieht's links bzw. rechts von 2 aus? Wie ist's also mit zb
> f'(3) oder f'(1)
f'(3) = 2
f'(1) = -2
> Überdenke das nochmal, dann sind die Monotonieintervalle
> klar und auch die Art der Monotonie ..
aber klar ist es mir nicht. :-(
oder muss ich noch ein intervall angeben
im intervall [mm](\infty,2)[/mm] ist a) streng monoton fallend?
> >
> > im intervall [mm](2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton steigend.
> > (2.ableitung)
> > im intervall [mm][2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton
> steigend?
>
>
>
> Die erste Ableitung ist doch ein quadratischer Ausdruck,
> schreibe die zu lösende Ungleichung nochmal hin und
> versuche den quadratischen Ausdruck der Ableitung zu
> faktorisieren, also als Produkt zu schreiben.
welche ungleichung meinst du?
[mm]f'(x)=1/2x^2-5/2x+2[/mm]
und wenn ich das faktorisiere dann sieht das bei mir so aus.
[mm]1/2*x*x-5/2*x+2[/mm]
hier die gleichen suchen
[mm]x(1/2*x-5/2)+2[/mm]
und hier bin ich am ende.
ein tool im internet sagt mir dass beim faktorisieren was anderes raus kommt.
> Bedenke, dass ein Produkt [mm]a\cdot{}b>0[/mm] ist, wenn entweder
> [mm]a>0[/mm] UND [mm]b>0[/mm] oder [mm]a<0[/mm] UND [mm]b<0[/mm]
>
> Noch ein Kontrolltipp: die Funktion in (b) ist in 2
> Intervallen steigend, in einem Intervall fallend ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 15.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hallo
>
> > > nehme ich die erste ableitung und stelle sie nach x um und
> > > setze ich für x=2 ein kommt null raus.
> >
> > > im intervall [mm](2,\infty)[/mm] ist a) streng monoton steigend.
> >
> > > im intervall [mm][2,\infty)[/mm] ist a) monoton steigend?
> >
> > du hast berechnet, dass bei [mm]x=2[/mm] die Ableitung 0 ist, wie
> > sieht's links bzw. rechts von 2 aus? Wie ist's also mit zb
> > f'(3) oder f'(1)
>
> f'(3) = 2
> f'(1) = -2
>
> > Überdenke das nochmal, dann sind die Monotonieintervalle
> > klar und auch die Art der Monotonie ..
>
> aber klar ist es mir nicht. :-(
> oder muss ich noch ein intervall angeben
> im intervall [mm](\infty,2)[/mm] ist a) streng monoton fallend?
>
>
>
> > >
> > > im intervall [mm](2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton steigend.
> > > (2.ableitung)
> > > im intervall [mm][2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton
> > steigend?
> >
> >
> >
> > Die erste Ableitung ist doch ein quadratischer Ausdruck,
> > schreibe die zu lösende Ungleichung nochmal hin und
> > versuche den quadratischen Ausdruck der Ableitung zu
> > faktorisieren, also als Produkt zu schreiben.
>
> welche ungleichung meinst du?
>
> [mm]f'(x)=1/2x^2-5/2x+2[/mm]
> und wenn ich das faktorisiere dann sieht das bei mir so
> aus.
>
> [mm]1/2*x*x-5/2*x+2[/mm]
> hier die gleichen suchen
>
> [mm]x(1/2*x-5/2)+2[/mm]
> und hier bin ich am ende.
Das ist auch falsch.
>
> ein tool im internet sagt mir dass beim faktorisieren was
> anderes raus kommt.
>
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2
[/mm]
Berechne erstmal die Nullstellen [mm] x_{0_{1}} [/mm] und [mm] x_{0_{2}}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-5x+4=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{0_{1}}=-1 [/mm] und [mm] x_{0_{2}}=4
[/mm]
Also kannst du x²-5x+4 auch schreiben als (x+1)(x-4), und das ist dann faktorisiert.
Also:
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left(x^{2}-5x+4\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left((x-4)(x+1)\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)
[/mm]
Jetzt hast du dadurch drei Intervalle bekommen.
[mm] I_{1}=]-\infty;-1[
[/mm]
[mm] I_{2}=]-1;4[
[/mm]
[mm] I_{3}=]4;\infty[
[/mm]
> > Bedenke, dass ein Produkt [mm]a\cdot{}b>0[/mm] ist, wenn entweder
> > [mm]a>0[/mm] UND [mm]b>0[/mm] oder [mm]a<0[/mm] UND [mm]b<0[/mm]
Es muss also gelten, da [mm] \bruch{1}{2}>0:
[/mm]
(x-4)>0 und (x-1)>0, denn dann ist [mm] \bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)>0
[/mm]
Oder
(x-4)<0 und (x-1)<0 denn auch dann ist [mm] \bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)>0
[/mm]
Jetzt betrachte mal die drei Intervalle.
> >
> > Noch ein Kontrolltipp: die Funktion in (b) ist in 2
> > Intervallen steigend, in einem Intervall fallend ...
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> Hallo
>
> > hallo
> >
> > > > nehme ich die erste ableitung und stelle sie nach x um und
> > > > setze ich für x=2 ein kommt null raus.
> > >
> > > > im intervall [mm](2,\infty)[/mm] ist a) streng monoton steigend.
> > >
> > > > im intervall [mm][2,\infty)[/mm] ist a) monoton steigend?
> > >
> > > du hast berechnet, dass bei [mm]x=2[/mm] die Ableitung 0 ist, wie
> > > sieht's links bzw. rechts von 2 aus? Wie ist's also mit zb
> > > f'(3) oder f'(1)
> >
> > f'(3) = 2
> > f'(1) = -2
> >
> > > Überdenke das nochmal, dann sind die Monotonieintervalle
> > > klar und auch die Art der Monotonie ..
> >
> > aber klar ist es mir nicht. :-(
> > oder muss ich noch ein intervall angeben
> > im intervall [mm](\infty,2)[/mm] ist a) streng monoton fallend?
> >
> >
> >
> > > >
> > > > im intervall [mm](2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton steigend.
> > > > (2.ableitung)
> > > > im intervall [mm][2.5,\infty)[/mm] ist b) streng monoton
> > > steigend?
> > >
> > >
> > >
> > > Die erste Ableitung ist doch ein quadratischer Ausdruck,
> > > schreibe die zu lösende Ungleichung nochmal hin und
> > > versuche den quadratischen Ausdruck der Ableitung zu
> > > faktorisieren, also als Produkt zu schreiben.
> >
> > welche ungleichung meinst du?
> >
> > [mm]f'(x)=1/2x^2-5/2x+2[/mm]
> > und wenn ich das faktorisiere dann sieht das bei mir so
> > aus.
> >
> > [mm]1/2*x*x-5/2*x+2[/mm]
> > hier die gleichen suchen
> >
> > [mm]x(1/2*x-5/2)+2[/mm]
> > und hier bin ich am ende.
>
> Das ist auch falsch.
>
> >
> > ein tool im internet sagt mir dass beim faktorisieren was
> > anderes raus kommt.
> >
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2[/mm]
>
> Berechne erstmal die Nullstellen [mm]x_{0_{1}}[/mm] und [mm]x_{0_{2}}[/mm]
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2=0[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-5x+4=0[/mm]
> [mm]\gdw x_{0_{1}}=-1[/mm] und [mm]x_{0_{2}}=4[/mm]
>
> Also kannst du x²-5x+4 auch schreiben als (x+1)(x-4), und
> das ist dann faktorisiert.
hier hast du dich vertan. müsste (x-1)(x-4) sein.
wie dem auch sei, kann ich nicht nachvollziehen, wie du dadurch auf die drei folgenden intervalle kommst.
>
> Also:
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{5}{2}x+2[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}\left(x^{2}-5x+4\right)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}\left((x-4)(x+1)\right)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)[/mm]
>
> Jetzt hast du dadurch drei Intervalle bekommen.
>
> [mm]I_{1}=]-\infty;-1[[/mm]
> [mm]I_{2}=]-1;4[[/mm]
> [mm]I_{3}=]4;\infty[[/mm]
die neuen werden dann wohl wie folgt lauten:
[mm]I_{1}=]-\infty;1[[/mm]
[mm]I_{2}=]1;4[[/mm]
[mm]I_{3}=]4;\infty[[/mm]
f'(1)=4 d.h. streng monoton wachsend
f'(4)=-10 d.h. streng monoton fallen.
aber das ist ja nur wieder für die werte 1 und 4.
also frage ich mich, wie betrachte ich ein intervall?
es muss ja für alle werte des intervalls gelten,
dass f'(x)>0 is für streng monoton wachsend.
also muss ich mich fragen, wann ist jeder wert des
intarvalls größer 0 für streng monoton wachsend?
ich habe meine schwierigkeiten, dies für das
ganze intervall zu prüfen. welchen trick gibt es dabei?
>
> > > Bedenke, dass ein Produkt [mm]a\cdot{}b>0[/mm] ist, wenn entweder
> > > [mm]a>0[/mm] UND [mm]b>0[/mm] oder [mm]a<0[/mm] UND [mm]b<0[/mm]
>
> Es muss also gelten, da [mm]\bruch{1}{2}>0:[/mm]
>
> (x-4)>0 und (x-1)>0, denn dann ist
> [mm]\bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)>0[/mm]
> Oder
> (x-4)<0 und (x-1)<0 denn auch dann ist
> [mm]\bruch{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+1)\right)>0[/mm]
>
> Jetzt betrachte mal die drei Intervalle.
ach so, moment hier steht was.
ich betrachte den intervall [mm] (4;\infty)
[/mm]
also 4-4 is größer 0 und 4-1 is -3 also kleiner.
irgendwie bin ich verwirrt...
ich fahre jetzt nach hause und überlege nochmal...
trotzdem. vieleicht fällt der groschen, wenn ich wüßte wie man genau auf die intervalle kommt.
>
>
> > >
> > > Noch ein Kontrolltipp: die Funktion in (b) ist in 2
> > > Intervallen steigend, in einem Intervall fallend ...
>
>
> Marius
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Hallo dicentra,
> trotzdem. vieleicht fällt der groschen, wenn ich wüßte wie
> man genau auf die intervalle kommt.
[mm]f'\left(x\right)=\bruch{1}{2}*\left(x-1\right)*\left(x-4\right)[/mm]
Jetzt untersuchst Du , wann f'(x) > 0 ist.
Dann gibt es 2 Fälle:
i) [mm]x-1>0 \wedge x-4>0[/mm]
[mm]\gdw x>1 \wedge x>4[/mm]
[mm]\Rightarrow x>4[/mm]
ii) [mm]x-1<0 \wedge x-4<0[/mm]
[mm]\gdw x<1 \wedge x<4[/mm]
[mm]\Rightarrow x<1[/mm]
Für [mm]x>1 \wedge x<4 \Rightarrow \left(x-1\right)\left(x-4\right) < 0 \gdw f'\left(x\right) < 0[/mm]
Somit hast Du 3 Intervalle:
[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 && x \in \left]-\infty, 1 \right[ \\ <0 && x \in \left]1,4\right[ \\ >0 && x \in \left]4,+\infty[ \end{matrix}\right[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
möchte schon mal danke sagen, so zwischendurch 
doch noch mal ne frage im allgemeinen.
1. wenn ich die monotonie einer funktion feststellen will,
suche ich zuerst alle nullstellen?
denn wenn ich die nullstellen habe, dann weiß ich,
dass ich die anzahl der nullstellen +1 intervalle brauche?
2. (ah) die ungleichung der ersten ableitung, bei der ich
untersuche, ob die f'(x)>0 ist bringt mich zu den intervallen
und gleichzeitig sagt die mir aus wann die funktion
monoton usw ist.
glaube, dass es klick gemacht hat.
* also nullstellen suchen, ich weiß wieviel intervall ich habe.
* die faktorisierung hilft mir die intervalle zu definieren.
noch ne frage dazu: sollte die 2 ableitung immer foktorisiert
werden, wenn sie eine gleichung 2. oder höheren grades ist?
so dann, kümmer ich mich nochmal um die aufgabe, dass
ich es selber rausfinde.
danke, dic
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Hallo dicentra,
> möchte schon mal danke sagen, so zwischendurch
>
> doch noch mal ne frage im allgemeinen.
>
> 1. wenn ich die monotonie einer funktion feststellen will,
> suche ich zuerst alle nullstellen?
> denn wenn ich die nullstellen habe, dann weiß ich,
> dass ich die anzahl der nullstellen +1 intervalle
> brauche?
Ja.
>
> 2. (ah) die ungleichung der ersten ableitung, bei der ich
> untersuche, ob die f'(x)>0 ist bringt mich zu den
> intervallen
> und gleichzeitig sagt die mir aus wann die funktion
> monoton usw ist.
f'(x) >0 sagt aus, wann die Funktion monoton steigt.
f'(x) <0 sagt aus, wann die Funktion monoton fällt.
>
> glaube, dass es klick gemacht hat.
>
> * also nullstellen suchen, ich weiß wieviel intervall ich
> habe.
> * die faktorisierung hilft mir die intervalle zu
> definieren.
>
> noch ne frage dazu: sollte die 2 ableitung immer
> foktorisiert
> werden, wenn sie eine gleichung 2. oder höheren grades
> ist?
Das ist unabhängig von der Gleichung. Bei Monotonie-Untersuchungen.
sollte generell die Funktion faktorisiert werden.
>
> so dann, kümmer ich mich nochmal um die aufgabe, dass
> ich es selber rausfinde.
>
> danke, dic
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
super! vielen dank!!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> Also kannst du x²-5x+4 auch schreiben als (x-1)(x-4), und
> das ist dann faktorisiert.
wie kann ich mir das zurückrechnen? gibt es da ein schema?
ich meine, zb. bei der quadratischen ergänzung sagt man:
* klammer auf und schreibe das x.
* nimm die hälfte von x und klammer zu.
* das ganze zum quadrat und das binom steht.
gibt es hier auch sowas wie einen "merksatz"?
nehmen wir an wir sollen [mm] (x^2-9x+5) [/mm] faktorisieren.
merksatz:
mache 2 klammern:
(_____)(_____)
schreibe x- in beide:
(x-___)(x-___)
und dann.
[mm] (x-\wurzel{5})(x-\wurzel{5})
[/mm]
und rechne ich das aus, merke ich, dass ich nicht faktorisieren kann.
was dann?
oder werfe ich hier einiges durcheinander?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dicentra!
Wende einfach die  p/q-Formel auf den entsprechenden quadratischen Term an.
Damit erhältst Du im Normalfall zwei Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] .
Die faktorisierte Darstellung lautet dann: [mm] $\left(x-x_1\right)*\left(x-x_2\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
ach so, oder quadratische ergänzung.
jetzt machts noch mal klick. danke.
worin liegt eigentlich der vorteil oder nachteil von pq-formel und QE?
kommt doch das selbe raus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
> worin liegt eigentlich der vorteil oder nachteil von
> pq-formel und QE?
> kommt doch das selbe raus...
>
>
Es gibt keinen.
Die pq-Formel ist die Lösung einer QE angewendet auf das Polynom
x²+px+q
Insofern kannst du QE immer anwenden, oder dir das durchführen ersparen indem du in die pq-Formel einsetzt.
Gruß Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
alles klar daniel, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> > nochmal die ableitung zu c)
> >
> > c) [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
> >
> > [mm]f(x)'=e^{-x}+x*(-e^{-x})[/mm]
>
> [mm]=e^{-x}\cdot{}(1-x)[/mm]
>
> > [mm]f(x)''=-e^{-x}+e^{-x}+x(e^{-x})[/mm] aber auch nur halb
> > geraten...
>
> ja, nicht gut, lieber berechnen statt erraten, entweder
> meinen zusammengefassten Ausdruck [mm]f'(x)=e^{-x}(1-x)[/mm] gem.
> Produktregel ableiten oder deinen Ausdruck
> [mm]f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}[/mm] mit Summen- und Produktregel ableiten
> (den hinteren Teil hast du ja quasi schon bis auf das VZ in
> der 1.Ableitung berechnet)
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
hier die 2.ableitung von meiner version:
[mm]f(x)'=e^{-x}+x(-e^{-x})[/mm]
[mm]f''(x)=-e^{-x}+1*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
[mm]f''(x)=-e^{-x}-e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]
[mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
das müsste die 2. ableitung sein.
doch wie sieht es hier aus, bei dem zusammengefaßten ausdruck?
[mm]f'(x)=e^{-x}(1-x)[/mm]
ich weiß nicht wie ich (1-x) ableiten soll.
(1-x)' = 1'-x' = -1? die konstante 1 fällt weg und -x abgeleitet -1?
demnach wäre [mm]f'(x)=e^{-x}(1-x)[/mm] abgeleitet:
[mm]f''(x)=e^{-x}*(-1)+(1-x)*(-e^{-x})[/mm] was völlig anderes, oder ?
[mm]f''(x)=-e^{-x}+(1-x)*(-e^{-x})[/mm]
[mm]f''(x)=-e^{-x}-e^{-x}-x(-e^{-x})[/mm]
[mm]f''(x)=2*(-e^{-x})-x*(-e^{-x})[/mm]
[mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
moment mal, das scheint zu stimmen...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
Monotonie:
[mm]f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})[/mm]
[mm]e^{-x}+x(-e^{-x})>0[/mm]
hängt nur von (1-x) ab
1-x > 0
x < 1
[mm] (-\infty; [/mm] 1) streng monoton wachsend
(1; [mm] \infty) [/mm] streng monoton fallend
Krümmungsverhalten:
[mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
alles immer positiv, daher konvex in (0; [mm] \infty)
[/mm]
was negatives gibt es in der e-Funktion nicht, also nur ein intervall
???
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Hallo dicentra,
>
> Monotonie:
>
> [mm]f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})[/mm]
>
> [mm]e^{-x}+x(-e^{-x})>0[/mm]
>
> hängt nur von (1-x) ab
>
> 1-x > 0
> x < 1
>
> [mm](-\infty;[/mm] 1) streng monoton wachsend
> (1; [mm]\infty)[/mm] streng monoton fallend
>
Stimmt.
>
>
> Krümmungsverhalten:
>
> [mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
>
> alles immer positiv, daher konvex in (0; [mm]\infty)[/mm]
>
> was negatives gibt es in der e-Funktion nicht, also nur ein
> intervall
>
>
>
> ???
>
Denke nochmal darüber nach.
[mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mi 17.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> > Krümmungsverhalten:
> >
> > [mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
> >
> > alles immer positiv, daher konvex in (0; [mm]\infty)[/mm]
> >
> > was negatives gibt es in der e-Funktion nicht, also nur ein
> > intervall
> >
> >
> >
> > ???
> >
>
>
> Denke nochmal darüber nach.
>
> [mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
>
>
> >
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
ach so:
x-2 = 0
x = 2
da [mm] f''(x)=2\ge0 \Rightarrow [/mm] f konvex
und das intervall ist wieder der definitionsbereich also alle R ?
so das war es für heute. gute nacht zusammen
dic
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Hallo dicentra,
> > > Krümmungsverhalten:
> > >
> > > [mm]f''(x)=2*(-e^{-x})+x*e^{-x}[/mm]
> > >
> > > alles immer positiv, daher konvex in (0; [mm]\infty)[/mm]
> > >
> > > was negatives gibt es in der e-Funktion nicht, also nur ein
> > > intervall
> > >
> > >
> > >
> > > ???
> > >
> >
> >
> > Denke nochmal darüber nach.
> >
> > [mm]f''\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}[/mm]
> >
> >
> > >
> > >
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> ach so:
>
> x-2 = 0
> x = 2
>
> da [mm]f''(x)=2\ge0 \Rightarrow[/mm] f konvex
>
> und das intervall ist wieder der definitionsbereich also
> alle R ?
>
[mm]f''\left(x\right)[/mm] ist ja nicht immer größer Null.
>
>
> so das war es für heute. gute nacht zusammen
>
> dic
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> In welchen Intervallen ist f(x) (streng) monoton fallend /
> wachsend?
> In welchen Intervallen ist f(x) konvex / konkav?
>
> a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
>
> Hinweis: Argumentieren Sie mit 1. bzw. 2. Ableitung
[mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
[mm]f(x)'=2x-4[/mm]
[mm]f(x)''=2[/mm]
Nullstellen:
[mm]2x-4=0[/mm]
[mm]x=2[/mm]
Eine Nullstelle bedeutet suche zwei Interwalle.
Die Frage der Monotonie
Wann ist [mm]2x-4>0[/mm]? Denn dann ist f streng monoton wachsend.
[mm]x>2[/mm]
[mm] \Rightarrow (2;\infty) [/mm] streng monoton wachsend
[mm] \Rightarrow (-\infty;2) [/mm] streng monoton fallend
Frage: Was ist bei genau 2 ?
Das Krümmungsverhalten
Da f''(x)=2 [mm] \gdw [/mm] 2>0 [mm] \Rightarrow [/mm] f ist konvex.
Frage: Habe ich die Pfeile so richtig angewendet ?
Frage: Ein Intervall kann ich für das Krümmungsverhalten nicht aufstellen ?
Grüße, dic
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Hallo dicentra,
> > In welchen Intervallen ist f(x) (streng) monoton fallend /
> > wachsend?
> > In welchen Intervallen ist f(x) konvex / konkav?
> >
> > a) [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
> >
> > Hinweis: Argumentieren Sie mit 1. bzw. 2. Ableitung
>
> > [mm]f(x)=x^2-4x+1[/mm]
>
> [mm]f(x)'=2x-4[/mm]
>
> [mm]f(x)''=2[/mm]
>
>
> Nullstellen:
>
> [mm]2x-4=0[/mm]
> [mm]x=2[/mm]
>
> Eine Nullstelle bedeutet suche zwei Interwalle.
>
>
> Die Frage der Monotonie
>
> Wann ist [mm]2x-4>0[/mm]? Denn dann ist f streng monoton wachsend.
>
> [mm]x>2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (2;\infty)[/mm] streng monoton wachsend
> [mm]\Rightarrow (-\infty;2)[/mm] streng monoton fallend
>
> Frage: Was ist bei genau 2 ?
>
Bei 2 kann man nicht sagen, ob die Funktione steigt oder fällt.
Prüfen wir allerdings nur auf ![[]](/images/popup.gif) monoton wachsend/fallend,
so ist die 2 mit im Intervall eingeschlossen:
>
> Das Krümmungsverhalten
>
> Da f''(x)=2 [mm]\gdw[/mm] 2>0 [mm]\Rightarrow[/mm] f ist konvex.
>
> Frage: Habe ich die Pfeile so richtig angewendet ?
Richtig muß es heißen:
"Da [mm]f''(x)=2 > 0 \Rightarrow[/mm] f ist konvex."
> Frage: Ein Intervall kann ich für das Krümmungsverhalten
> nicht aufstellen ?
>
Das ist in diesem Fall der Definitionsnbereich, also ganz [mm]\IR[/mm].
>
> Grüße, dic
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 16.12.2008 | | Autor: | dicentra |
Super, hurra. Danke MathePower!
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