Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mythbu |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Monotonie und Beschränktheit (Unbeschränktheit mit Beweis durch Wiederspruch nachweisen):
[mm]
f(x) = \bruch{x-\wurzel{x}}{1+x+\wurzel{x}}, x \in ]0,\infty[
[/mm] |
Hallo Leute,
ich habe mir mal den Graphen angeschaut und festgestellt, dass der im Bereich x < 0,5 eine "Mulde" hat und danach ansteigt und gegen 1 läuft. Doch durch die Multe ist der Graph ja anfangs streng monoton fallend und dann aber wieder streng monoton steigend. D.h. er hat keine festes Monotonieverhalten. Bei der Beschränktheit kann man ja ziemlich schnell sehen, dass der Graph gegen 1 läuft. Da aber der Graph nur für endliche Zahlen definiert ist, hat er doch keine Besschränkung, oder? Denn innerhalb des Definitionsbereiches wächst er immer weiter.
Das habe ich so aus dem Graphen und der Grafik abgelesen. Nun muss ich das noch irgendwie mathematisch beweisen. Und an dieser Stelle weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Die Regeln habe ich hier vor liegen (f ist monoton steigend, wenn [mm]x_1 \le x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2) [/mm] und ist monoton fallend, wenn [mm]x_1 \ge x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2) [/mm]; f ist nach oben beschränkt, wenn [mm] $f(x)\le [/mm] k$ und nach unten beschränkt, wenn [mm] $f(x)\ge [/mm] l$).
Freue mich über impulsgebende Vorschläge!
Gruß,
mytbu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Monotonie:
Ist I ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar, so gilt: ist f' [mm] \ge [/mm] 0 (bzw. [mm] \le [/mm] 0 ) auf I, so ist f auf I mon. wachsend (bzw. fallend)
Beschränktheit. Deine Funktion ist z.B. [mm] \le [/mm] 1 auf (0, [mm] \infty). [/mm] Findest Du auch eine untere Schranke ?
FRED
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